Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以點(diǎn)P為圓心的圓與圓x²+y²-2y=0外切且與x軸相切(兩切點(diǎn)不重合)．
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)若直線mx一y+2m+5=0(m∈R)與點(diǎn)P的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)m變化時(shí)，以線段AB為直徑的圓是否會(huì)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若會(huì)，求出此定點(diǎn)；若不會(huì)，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）（＞）；（2）會(huì)定點(diǎn)為.

試題分析：本題主要考查兩圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，由于以點(diǎn)p為圓心的圓與x軸相切，通過(guò)數(shù)形結(jié)合得且，解出x與y的關(guān)系，即所求的P點(diǎn)的軌跡方程；第二問(wèn)，直線與拋物線方程聯(lián)立，消參得到關(guān)于x的方程，得到，，先寫出以線段AB為直徑的圓的方程，將，代入后，得到關(guān)于m的方程，由于m∈R，所以得到，解出唯一解，所以圓過(guò)定點(diǎn)（2,1）.
試題解析：⑴設(shè)，由題意知且，得
故所求點(diǎn)的軌跡方程為（＞）              5分
⑵設(shè)、，將代入得
∴                            7分
而以線段為直徑的圓的方程為，
即    ，
得 ，      10分
整理成關(guān)于的方程  
由于以上關(guān)于的方程有無(wú)數(shù)解，故，
由以上方程構(gòu)成的方程組有唯一解.
由此可知，以線段為直徑的圓必經(jīng)過(guò)定點(diǎn).                 13分