Question

如圖，直線(xiàn)，拋物線(xiàn)，已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為．

（1）求直線(xiàn)及拋物線(xiàn)的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的任一直線(xiàn)（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，記直線(xiàn)，，的斜率分別為，， ．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）直線(xiàn)的方程為，拋物線(xiàn)的方程為．（2）存在且

試題分析：
（1）把點(diǎn)P的坐標(biāo)帶入拋物線(xiàn)方程即可求出拋物線(xiàn)方程,而直線(xiàn)l方程的求解有兩種方法,法1,可以考慮求出既與拋物線(xiàn)相切,又與直線(xiàn)l平行的直線(xiàn),該直線(xiàn)與直線(xiàn)l的距離即為拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的最短距離,進(jìn)而可以求的相應(yīng)的b值。法二,可以設(shè)拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)為,列出點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離公式,再利用二次函數(shù)的最值即可得到相應(yīng)的b值。
（2）直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q且不經(jīng)過(guò)P，所以直線(xiàn)AB斜率存在且利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線(xiàn)方程,聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程,得到關(guān)于A,B橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的韋達(dá)定理,進(jìn)而利用AB直線(xiàn)的斜率表示PA，PB直線(xiàn)的斜率,再聯(lián)立直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l,用AB直線(xiàn)斜率表示PM直線(xiàn)的斜率,得到關(guān)于AB直線(xiàn)斜率的表達(dá)式,帶入即可求的的值.
試題解析：
（1）（法一）點(diǎn)在拋物線(xiàn)上， ．                 2分
設(shè)與直線(xiàn)平行且與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程為，
由 得，
，
由，得，則直線(xiàn)方程為．
兩直線(xiàn)、間的距離即為拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最短距離，
有，解得或（舍去）．
直線(xiàn)的方程為，拋物線(xiàn)的方程為．                6分
（法二）點(diǎn)在拋物線(xiàn)上， ，拋物線(xiàn)的方程為．               2分
設(shè)為拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，根據(jù)圖象，有，，
，的最小值為，由，解得．
因此，直線(xiàn)的方程為，拋物線(xiàn)的方程為．              6分
（2）直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，
由 得，
設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則，，
，，                 9分
.        10分
由 得，，
，             13分
．
因此，存在實(shí)數(shù)，使得成立，且．                14分