Question

給出下列命題：
①已知橢圓

x2

16

+

y2

8

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，則這個(gè)橢圓上存在六個(gè)不同的點(diǎn)M，使得△F₁MF₂為直角三角形；
②已知直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y=2x²的焦點(diǎn)，且與這條拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為2；
③若過(guò)雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)作它的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|=a；
④已知⊙C₁：x²+y²+2x=0，⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，則這兩個(gè)圓恰有2條公切線(xiàn)．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：①分F₁M垂直于x 軸時(shí)，MF₂垂直于x 軸時(shí)，當(dāng)∠F₁MF₂  為直角時(shí)，三種情況進(jìn)行討論．
②利用|AB|的最小值為拋物線(xiàn)的通徑2p，進(jìn)行判斷．
③點(diǎn)斜式求出垂線(xiàn)方程，將它與漸近線(xiàn)方程聯(lián)立求得交點(diǎn)M的坐標(biāo)，計(jì)算線(xiàn)段MO 的值．
④求出兩個(gè)圓的圓心和半徑，再求出圓心距，由兩圓的圓心距等于

2

，大于兩圓的半徑之差，小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交，從而得出結(jié)論．

解答：解：∵橢圓

x2

16

+

y2

8

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-2

2

，0），F(xiàn)₂（2

2

，0），當(dāng)F₁M垂直于x 軸時(shí)，這樣的點(diǎn)M
有2個(gè)． 當(dāng)MF₂垂直于x 軸時(shí)，這樣的點(diǎn)M有2個(gè)．當(dāng)∠F₁MF₂  為直角時(shí)，點(diǎn)M恰是橢圓短軸的端點(diǎn)（0，，2

2

），
這樣的點(diǎn)M有2個(gè)，綜上，這個(gè)橢圓上存在六個(gè)不同的點(diǎn)M，使得△F₁MF₂為直角三角形，故①正確．
∵過(guò)拋物線(xiàn)y=2x²的焦點(diǎn)，且與這條拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為拋物線(xiàn)的通徑2p，由拋物線(xiàn)y=2x²
的方程即x²=

1

2

y 知，p=

1

4

，2p=

1

2

，則|AB|的最小值為

1

2

，故②不正確．
∵雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為（c，0），一條漸近線(xiàn)的方程 y=

b

a

x，
故垂線(xiàn)方程為 y-0=-

a

b

（x-c），它與漸近線(xiàn) y=

b

a

x 的交點(diǎn)M（

a2

c

，

ab

c

），
∴MO=

( a2 c )2+ ( ab c  )2

=

a2

=a，故③正確．
∵⊙C₁：x²+y²+2x=0，即  （x+1）²+y²=1，表示圓心為（-1，0），半徑等于1的圓．
⊙C₂：x²+y²+2y-1=0 即，x²+（y+1）²=2，表示圓心為（0，-1），半徑等于

2

的圓．
兩圓的圓心距等于

2

，大于兩圓的半徑之差，小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交，故兩圓的公切線(xiàn)
由2條，故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)、圓的性質(zhì)，兩圓的位置關(guān)系，掌握?qǐng)A錐曲線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．