Question

若函數(shù)滿足：集合中至少存在三個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，則稱函數(shù)是等比源函數(shù).
（1）判斷下列函數(shù)：①；②中，哪些是等比源函數(shù)？（不需證明）
（2）證明：函數(shù)是等比源函數(shù)；
（3）判斷函數(shù)是否為等比源函數(shù)，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）①②都是等比源函數(shù)；（2）參考解析；（3）參考解析

解析試題分析：（1）函數(shù)滿足：集合中至少存在三個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，則稱函數(shù)是等比源函數(shù).由等比源函數(shù)的定義可知.令x=1,2,4.即可得函數(shù)對應(yīng)的三項(xiàng)為等比數(shù)列.令x=10,100,10000即可得函數(shù)對應(yīng)的三項(xiàng)成等比數(shù)列.所以①②都是等比源函數(shù).
（2）由函數(shù)，通過列舉三項(xiàng)即可得到證明.
（3）函數(shù)，不是等比源函數(shù).假設(shè)存在三項(xiàng)使得函數(shù)是等比源函數(shù)，利用等比數(shù)列的等比通項(xiàng)的知識，以及奇偶性的知識即可得到函數(shù)，不是等比源函數(shù).
試題解析：（1）①②都是等比源函數(shù)；4分
（2）證明：，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a6/e/mm87a.png" style="vertical-align:middle;" />成等比數(shù)列
所以函數(shù)是等比源函數(shù)；10分
其他的數(shù)據(jù)也可以
（3）函數(shù)不是等比源函數(shù).證明如下：
假設(shè)存在正整數(shù)且，使得成等比數(shù)列，
，整理得，
等式兩邊同除以得.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/97/b/1vqob4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以等式左邊為偶數(shù)，等式右邊為奇數(shù)，
所以等式不可能成立，
所以假設(shè)不成立，說明函數(shù)不是等比源函數(shù).18分
考點(diǎn)：1.新定義函數(shù)的概念.2.列舉遞推的思想.3.反正法思想的應(yīng)用.