Question

【題目】某廠家擬在2017年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）（單位：萬件）與年促銷費(fèi)用（單位：萬元）（）滿足（ 為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件．已知2017年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元．每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．

（1）將2017年該產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）表示為年促銷費(fèi)用（單位：萬元）的函數(shù)；

（2）該廠家2017年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大?

Answer 1

【答案】（1）（）, （2）該廠家2017年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大為21萬元

【解析】試題分析：（1）由題目中產(chǎn)品的年銷售量x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)關(guān)系式為：，當(dāng)m=0時(shí)，x=1，可得k的值，即得x關(guān)于m的解析式；又每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5倍的成本，可得利潤y與促銷費(fèi)用之間的關(guān)系式；

（2）對（1）利潤函數(shù)解析式進(jìn)行變形，進(jìn)而利用基本不等式求最大值即可．

試題解析：

（1）由題意知，當(dāng)m=0時(shí)，x=1，

∴1=3﹣k，即k=2，

∴；

每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×（萬元），

∴利潤函數(shù)y=x[1.5×]﹣（8+16x+m）

=4+8x﹣m=4+8（3﹣）﹣m

=﹣[+（m+1）]+29（m≥0）．

（2）因?yàn)槔麧櫤瘮?shù)y=﹣[+（m+1）]+29（m≥0），

所以，當(dāng)m≥0時(shí)，+（m+1）≥8，

∴y≤﹣8+29=21，當(dāng)且僅當(dāng)=m+1，即m=3（萬元）時(shí)，ymax=21（萬元）．

所以，該廠家2017年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大，最大為21萬元．