分析:(1)取AB
1的中點E,AB的中點F.連接DE、EF、CF.證明DE的平行線CF垂直平面ABB
1A
1,內(nèi)的相交直線AB,BB
1,即可證明平面AB
1D⊥平面ABB
1A
1;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出
cosθ=中的相關(guān)向量,直接求異面直線AB
1與BC所成角的余弦值;
(3)求平面AB
1D的一個法向量,以及平面ABC的一個法向量,利用向量的數(shù)量積求平面AB
1D與平面ABC所成二面角(銳角)的大。
解答:解:(1)證明:取AB
1的中點E,AB的中點F.連接DE、EF、CF.
故
EFBB1.又
CDBB1.
∴四邊形CDEF為平行四邊形,∴DE∥CF.又三棱柱ABC-A
1B
1C
1是直三棱柱.
△ABC為正三角形.CF?平面ABC,
∴CF⊥BB
1,CF⊥AB,而AB∩BB
1=B,∴CF⊥平面ABB
1A
1,
又DE∥CF,∴DE⊥平面ABB
1A
1.
又DE?平面AB
1D.所以平面AB
1D⊥平面ABB
1A
1.(4分)
(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則
A(,,0),C(0,a,0),D(0,a,),B1(0,0,a),B(0,0,0)設(shè)異面直線AB
1與BC所成的角為θ,則
cosθ==,
故異面直線AB
1與BC所成角的余弦值為
,
(3)由(2)得
=(-,-,a),=(-,,),
設(shè)n=(1,x,y)為平面AB
1D的一個法向量.
由
| n•=(1,x,y)•(-,-,a)=0 | n•=(1,x,y)•(-)=0 |
| |
得,
,
即
n=(1,,)(6分)
顯然平面ABC的一個法向量為m(0,0,1).
則
cos?m,n>==,故
?m,n>=.
即所求二面角的大小為
.(14分)
點評:本題考查平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角,二面角及其度量,考查空間想象能力,計算能力,是中檔題.