如圖所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=90°,D為棱AC的中點(diǎn),且AB=BC=BB1=a.

(1)求證:AB1∥平面BC1D;

(2)求異面直線AB1BC1所成的角;

(3)求點(diǎn)A到平面BC1D的距離.

(1)證明:連結(jié)B1CBC1E,連結(jié)ED.?

B1BCC1是矩形且D為棱AC的中點(diǎn),∴AB1ED.?

AB1平面BC1D,ED平面BC1D,∴AB1∥平面BC1D.?

(2)解析:由(1)知∠DEB是異面直線AB1BC1所成的角,?

AB=BC=BB1=a,?

AC=a,BD=a,BE=a,AB1=a.??

AB1ED,且D為棱AC的中點(diǎn),?

DE=AB1=a.?

在△BDE中,BD=BE=DE,?

∴∠DEB=60°.?

∴異面直線AB1BC1所成的角為60°.?

(3)解析:∵D為棱AC的中點(diǎn),∴點(diǎn)A到平面BC1D的距離與點(diǎn)C到平面BC1D的距離相等.?

設(shè)點(diǎn)C到平面BC1D的距離為h,?

∵VCBC1D?=VC1—BCD?,?

SBC1D?·h=SBCD?·CC1.?

∴h=.?

BD=a,BC1=a,C1D=a,?

BD2+C1D2=2a2=BC12.?

∴∠BDC1=90°.?

SBC1D?=BD·C1D=·a·a=a2.?

SBCD?=BD·CD=·a·a =a2 ,CC1=a,?

∴h=.?

∴點(diǎn)A到平面BC1D的距離為a.

練習(xí)冊系列答案
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如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AA1=AC=BC=2,D、E、F分別是AB、AA1、CC1的中點(diǎn),P是CD上的點(diǎn).
(1)求直線PE與平面ABC所成角的正切值的最大值;
(2)求證:直線PE∥平面A1BF;
(3)求直線PE與平面A1BF的距離.

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如圖所示,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,∠BAC=90°,AB=BB′=1,直線B′C與平面ABC成30°角.
(1)求證:A′B⊥面AB′C;
(2)求二面角B-B′C-A的正弦值.

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如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AA1上,當(dāng)AF=
a或2a
a或2a
時(shí),CF⊥平面B1DF.

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如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D為AC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:B1C1⊥平面ABB1A1;
(Ⅱ)設(shè)E是CC1的中點(diǎn),試求出A1E與平面A1BD所成角的正弦值.

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如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1=BC,AC1⊥平面A1BD,D為AC的中點(diǎn).
(1)求證:B1C∥平面A1BD;
(2)求證:B1C1⊥平面ABB1A1;
(3)在CC1上是否存在一點(diǎn)E,使得∠BA1E=45°,若存在,試確定E的位置,并判斷平面A1BD與平面BDE是否垂直?若不存在,請說明理由.

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