Question

【題目】已知函數，對任意的，滿足，其中，為常數．

（1）若的圖象在處的切線經過點，求的值；

（2）已知，求證；

（3）當存在三個不同的零點時，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由和解得；（2）化簡，構造函數，根據函數的單調性，證明的最小值大于零即可；（3）討論三種情況，，，排除前兩種，證明第三種情況符合題意即可.

試題解析：（1）在中，取，得，

又，所以．從而，

，．

又，所以，．

（2）．

令，則，

所以時，，單調遞減，

故時，，

所以時，．

（3），

①當時，在上，，遞增，所以，至多只有一個零點，不合題意；

②當時，在上，，遞減，所以，也至多只有一個零點，不合題意；

③當時，令，得，．

此時，在上遞減，上遞增，上遞減，

所以，至多有三個零點．

因為在上遞增，所以．

又因為，所以，使得．

又，，所以恰有三個不同的零點：，，．

綜上所述，當存在三個不同的零點時，的取值范圍是．