已知雙曲線C:
x2
2
-y2 =1

(1)求雙曲線C的漸近線方程;
(2)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,1).設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn),Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),記λ=
MP
MQ
.求λ的取值范圍.
分析:(1)令雙曲線方程的右邊為0,化簡(jiǎn)即可得到雙曲線的漸近線方程;
(2)用坐標(biāo)表示向量,利用向量的數(shù)量積建立函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)雙曲線的范圍,可求得λ的取值范圍.
解答:解:(1)由雙曲線C:
x2
2
-y2 =1

可得
x2
2
-y2 =0

解得所求漸近線方程為y-
2
2
x=0, y+
2
2
x=0

(2)設(shè)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則Q的坐標(biāo)為(-x0,-y0),
λ=
MP
MQ
=(x0y0-1)•(-x0,-yo-1)
=-
x
2
0
-
y
2
0
+1=-
3
2
x
2
0
+2

|x0|≥
2

∴λ的取值范圍是(-∞,-1].
點(diǎn)評(píng):本題以雙曲線為載體,考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查向量的數(shù)量積,考查函數(shù)的值域,屬于基礎(chǔ)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線C:
x2
2
-y2=1

(1)求雙曲線C的漸近線方程;
(2)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,1).設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn),Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).記λ=
MP
MQ
.求λ的取值范圍;
(3)已知點(diǎn)D,E,M的坐標(biāo)分別為(-2,-1),(2,-1),(0,1),P為雙曲線C上在第一象限內(nèi)的點(diǎn).記l為經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)P的直線,s為△DEM截直線l所得線段的長(zhǎng).試將s表示為直線l的斜率k的函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線c:
x2
2
-y2=1
,設(shè)直線l過點(diǎn)A(-3
2
,0)
,
(1)當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí),求直線l的方程及l(fā)與m的距離;
(2)證明:當(dāng)k>
2
2
時(shí),在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q,使之到直線l的距離為
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線C:
x2
2
-
y2
b2
=1(b>0)
的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P,M為C上任意點(diǎn),F1PF2=
π
2
S△PF1F2=1,N(
3
2
,1)
,則
6
3
|MF2|+|MN|
的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海 題型:解答題

已知雙曲線c:
x2
2
-y2=1
,設(shè)直線l過點(diǎn)A(-3
2
,0)

(1)當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí),求直線l的方程及l(fā)與m的距離;
(2)證明:當(dāng)k>
2
2
時(shí),在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q,使之到直線l的距離為
6

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