Question

（2012•豐臺(tái)區(qū)二模）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，點(diǎn)P在棱DF上．
（Ⅰ）若P是DF的中點(diǎn)，
（�。� 求證：BF∥平面ACP；
（ⅱ） 求異面直線BE與CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值為

6

3

，求PF的長度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（�。┻B接BD，交AC于點(diǎn)O，連接OP．利用OP為三角形BDF中位線，可得BF∥OP，利用線面平行的判定，可得BF∥平面ACP；
（ⅱ）利用平面ABEF⊥平面ABCD，可得⊥平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，求得

BE

=(-

1

2

，0，1)，

CP

=(-1，-1，

1

2

)，利用向量的夾角公式，即可求異面直線BE與CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2-2t，t），求得平面APF的法向量為

n1

=(1，0，0)，平面APC的法向量為

n2

=(-2，1，

2t-2

t

)，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）（ⅰ）證明：連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接OP．
因?yàn)镻是DF中點(diǎn)，O為矩形ABCD 對角線的交點(diǎn)，所以O(shè)P為三角形BDF中位線，所以BF∥OP，
因?yàn)锽F?平面ACP，OP?平面ACP，所以BF∥平面ACP．   …（4分）
（ⅱ）因?yàn)椤螧AF=90°，所以AF⊥AB，
因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
所以B（1，0，0），E(

1

2

，0，1)，P(0，1，

1

2

)，C（1，2，0）．
所以

BE

=(-

1

2

，0，1)，

CP

=(-1，-1，

1

2

)，
所以cos＜

BE

，

CP

＞=

BE • CP

|BE |•| CP |

=

4 5

15

，
即異面直線BE與CP所成角的余弦值為

4 5

15

．                          …（9分）

（Ⅱ）解：因?yàn)锳B⊥平面ADF，所以平面APF的法向量為

n1

=(1，0，0)．
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2-2t，t），在平面APC中，

AP

=(0，2-2t，t)，

AC

=(1，2，0)，
所以平面APC的法向量為

n2

=(-2，1，

2t-2

t

)，
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2

(-2)2+1+( 2t-2 t )2

=

6

3

，
解得t=

2

3

，或t=2（舍）．
此時(shí)|PF|=

5

3

．                             …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查線線角、面面角，考查利用空間向量解決空間角問題，正確求向量是關(guān)鍵．