Question

（（本小題滿分12分）
在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓E：（a>0，b>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（，），且點(diǎn)F（0，－1）為其一個(gè)焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A₁，A₂，不在y軸上的動(dòng)點(diǎn)P在直線y＝b²上運(yùn)動(dòng)，直線PA₁，PA₂分別與橢圓E交于點(diǎn)M，N，證明：直線MN通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，且△FMN的周長(zhǎng)為定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）根據(jù)題意可得 
可解得
∴橢圓的方程為┈┈┈┈┈4分
（Ⅱ）不妨設(shè)，
為直線上一點(diǎn)，，
直線方程為，直線方程為
點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程組            可得
點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程組   可得
由于橢圓關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線通過(guò)的定點(diǎn)必在軸上，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，令，得可猜測(cè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為，并記這個(gè)定點(diǎn)為
則直線的斜率
直線的斜率
∴，即三點(diǎn)共線，故直線通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，
又∵，是橢圓的焦點(diǎn)，
∴周長(zhǎng)=。┈┈┈┈┈12分

略