Question

雙曲線M的中心在原點，并以橢圓=1的焦點為焦點，以拋物線y²=-2x的準線為右準線．
（1）求雙曲線M的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+3與雙曲線M相交于A、B兩點，O是原點．求k值，使•=0．

Answer 1

解：（1）由題設(shè)知，橢圓的半焦距為：，…..（1分）
又拋物線的準線為：．…..（2分）
設(shè)雙曲線M的方程為，依題意有，…..（3分）
故，又b²=c²-a²=12-3=9．…..（4分）
∴雙曲線M的方程為．…..（5分）
（2）設(shè)直線l與雙曲線M的交點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點
聯(lián)立方程組消去y得 （k²-3）x²+6k+18=0，…..（7分）
∵A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根，
∴k²-3≠0…..（8分）
∴△=（6k）²-4（k²-3）×18＞0，從而有
，．…（9分）
又y₁=kx₁+3，y₂=kx₂+3
∴
…..…..（11分）
若•=0，則有 x₁x₂+y₁y₂=0，即?k²=1?k=±1．
∴當k=±1時，使得•=0．…..（13分）
分析：（1）由題意可得所求的雙曲線的半焦距 ，準線為：x=從而可得 ，可求雙曲線M的方程
（2）設(shè)直線l與雙曲線M的交點為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、聯(lián)立方程組 消去y（k²-3）x²+6kx+18=0，設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、則k²-3≠0，△=36k²-4（k²-3）×18＞0，解可得，，從而有 ，由 ，則有x₁x₂+y₁y₂=0，可求k．
點評：本題主要考查了由雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程及直線與曲線的位置關(guān)系，要求考生具備一定的邏輯推理與計算的能力，本題具有較大的綜合性．本題的易錯點是混淆橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)．