Question

雙曲線M的中心在原點(diǎn)，并以橢圓+=1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線y²=-2x的準(zhǔn)線為右準(zhǔn)線．
（Ⅰ）求雙曲線M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+3 與雙曲線M相交于A、B兩點(diǎn)，O是原點(diǎn)．
①當(dāng)k為何值時(shí)，使得•=0？
②是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=mx+12對(duì)稱？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，
又拋物線的準(zhǔn)線為：x=．（2分）
設(shè)雙曲線M的方程為，依題意有
故，又b²=c²-a²=12-3=9．
∴雙曲線M的方程為．（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線l與雙曲線M的交點(diǎn)為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、兩點(diǎn)
聯(lián)立方程組消去y得（k²-3）x²+6kx+18=0，（5分）
∵A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個(gè)不同實(shí)根，∴k²-3≠0
∴△=36k²-4（k²-3）×18＞0，解可得，，
從而有．（7分）
∴y₁y₂=（kx₁+3）（kx₂+3）=k²x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=．
若，則有x₁x₂+y₁y₂=0，即
∴k=±1
∴當(dāng)k=±1時(shí)，使得，（10分）
②若存在實(shí)k，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=mx+12對(duì)稱，則必有
因此，當(dāng)m=0時(shí)，不存在滿足條件的k；
當(dāng)m≠0時(shí)，由得3（x₁²-x₂²）-（y₁²-y₂²）=0
∴
∵A、B中點(diǎn)P（）在直線y=mx+12上，
∴，代入上式得
，又km=-1，∴x₁+x₂=6k（13分）
將代入并注意到k≠0，得k=．
∴當(dāng)m≠0時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=mx+12對(duì)稱（14分）
分析：（Ⅰ）由題意可得所求的雙曲線的半焦距，準(zhǔn)線為：x=從而可得，可求雙曲線M的方程
（Ⅱ）①設(shè)直線l與雙曲線M的交點(diǎn)為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、聯(lián)立方程組消去y（k²-3）x²+6kx+18=0，設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、則k²-3≠0，△=36k²-4（k²-3）×18＞0，解可得，，從而有
由，則有x₁x₂+y₁y₂=0，可求k
②若存在實(shí)k，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=mx+12對(duì)稱，則必有
當(dāng)m≠0時(shí)，利用點(diǎn)差法，由可得，3（x₁²-x₂²）-（y₁²-y₂²）=0即，再由A、B中點(diǎn)P（）在直線y=mx+12上，代入可求
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程及直線與曲線的位置關(guān)系，要求考生具備一定的邏輯推理與計(jì)算的能力，本題具有較大的綜合性．