Question

已知函數(shù)，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列a_n的首項(xiàng)a₁=2，前n 項(xiàng)和S_n滿足S_n=f（S_n-1）（n＞1，且n∈N^*）．
（1）求a_n的表達(dá)式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線l_n的斜率為a_n，且l_n與曲線y=x²相切，l_n又與y軸交于點(diǎn)D_n（0，b_n），當(dāng)n∈N^*時(shí)，記，若，求數(shù)列c_n的前n 項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由知，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列．由此能求出a_n=4n-2（n∈N^*）．
（2）設(shè)l_n：y=a_nx+b_n，由，由方程有相等實(shí)根，知△=a_n²+4b_n=0，所以=-（2n-1）²，由此能夠求出T_n．
解答：解：（1）由得：，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列．
∴，S_n=2n²，a_n=S_n-S_n-1=4n-2（n≥2），又a₁=2．∴a_n=4n-2（n∈N^*）
（2）設(shè)l_n：y=a_nx+b_n，由，
據(jù)題意方程有相等實(shí)根，
∴△=a_n²+4b_n=0，
∴=-（2n-1）²，
當(dāng)n∈N⁺時(shí)，=，
∴==，
∴T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n=
==．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．