【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),且,求證:.

【答案】(1);(2)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,等價(jià)于 對(duì)于任意恒成立,即對(duì)于任意恒成立,利用基本不等式求出函數(shù)最小值,從而可得結(jié)果;(2)設(shè).,原不等式等價(jià)于,可證明上遞增.又因?yàn)?/span>,則從而可得結(jié)論.

1)依題意,導(dǎo)數(shù) 對(duì)于任意恒成立,即不等式

對(duì)于任意恒成立,即不等式對(duì)于任意恒成立;

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)(當(dāng)時(shí)取等號(hào)),則,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.

(2)由于目標(biāo)不等式中兩個(gè)字母可以輪換,則不妨設(shè).,.

欲證目標(biāo)不等式

. (※)

根據(jù)(1)的結(jié)論知,當(dāng)時(shí)上遞增.又因?yàn)?/span>,則

,則不等式(※)正確,故原目標(biāo)不等式得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓:經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為.

(1)求橢圓的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),為橢圓的左焦點(diǎn),若,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某醫(yī)學(xué)院欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,該協(xié)會(huì)分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1到6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到數(shù)據(jù)資料見(jiàn)下表:

該院確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

(Ⅰ)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的兩個(gè)月的概率;

(Ⅱ)已知選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù).

(1)請(qǐng)根據(jù)2到5月份的數(shù)據(jù),求出就診人數(shù)關(guān)于晝夜溫差的線性回歸方程;

(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2人,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試問(wèn)該協(xié)會(huì)所得線性回歸方程是否理想?

(參考公式和數(shù)據(jù):

)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(2017·全國(guó)卷Ⅲ文,18)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:

最高氣溫

[10,15)

[15,20)

[20,25)

[25,30)

[30,35)

[35,40)

天數(shù)

2

16

36

25

7

4

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率;

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),寫出Y的所有可能值,并估計(jì)Y大于零的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,以短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)坐標(biāo).

(Ⅱ)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作軸的垂線,交橢圓于、兩點(diǎn),過(guò)橢圓上不同于點(diǎn)、的任意一點(diǎn),作直線、分別交軸于兩點(diǎn).證明:點(diǎn)、的橫坐標(biāo)之積為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】1)正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的n倍,則其表面積擴(kuò)大到原來(lái)的______倍,體積擴(kuò)大到原來(lái)的______倍;

2)球的半徑擴(kuò)大到原來(lái)的n倍,則其表面積擴(kuò)大到原來(lái)的_____倍,體積擴(kuò)大到原來(lái)的_______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在四棱錐中,平面平面,底面為矩形,,,、分別為線段上一點(diǎn),且,.

(1)證明:;

(2)證明:平面,并求三棱錐的體積.

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【題目】某籃球隊(duì)對(duì)籃球運(yùn)動(dòng)員的籃球技能進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究,針對(duì)籃球運(yùn)動(dòng)員在投籃命中時(shí),運(yùn)動(dòng)員在籃筐中心的水平距離這項(xiàng)指標(biāo),對(duì)某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了若干場(chǎng)次的統(tǒng)計(jì),依據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如下頻率分

布直方圖:

(1)依據(jù)頻率分布直方圖估算該運(yùn)動(dòng)員投籃命中時(shí),他到籃筐中心的水平距離的中位數(shù);

(2)若從該運(yùn)動(dòng)員投籃命中時(shí),他到籃筐中心的水平距離為2到5米的這三組中,用分層抽樣的方法抽取7次成績(jī)(單位:米,運(yùn)動(dòng)員投籃命中時(shí),他到籃筐中心的水平距離越遠(yuǎn)越好),并從抽到的這7次成績(jī)中隨機(jī)抽取2次.規(guī)定:這2次成績(jī)均來(lái)自到籃筐中心的水平距離為4到5米的這一組,記 1分,否則記0分.求該運(yùn)動(dòng)員得1分的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進(jìn)行如下試驗(yàn):將200只小鼠隨機(jī)分成兩組,每組100只,其中組小鼠給服甲離子溶液,組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:

為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”,根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中的值;

(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).

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