【題目】已知函數(shù)f(x)=(x2+bx+b) (b∈R)
(1)當(dāng)b=4時(shí),求f(x)的極值;
(2)若f(x)在區(qū)間(0, )上單調(diào)遞增,求b的取值范圍.

【答案】
(1)解:當(dāng)b=4時(shí),f(x)=(x2+4x+4) = (x ),

=

由f′(x)=0,得x=﹣2或x=0.

當(dāng)x<﹣2時(shí),f′(x)<0,f(x)在(﹣∞,﹣2)上為減函數(shù).

當(dāng)﹣2<x<0時(shí),f′(x)>0,f(x)在(﹣2,0)上為增函數(shù).

當(dāng)0<x< 時(shí),f′(x)<0,f(x)在(0, )上為減函數(shù).

∴當(dāng)x=﹣2時(shí),f(x)取極小值為0.

當(dāng)x=0時(shí),f(x)取極大值為4


(2)解:由f(x)=(x2+bx+b) ,得:

=

由f(x)在區(qū)間(0, )上單調(diào)遞增,

得f′(x)≥0對任意x∈(0, )恒成立.

即﹣5x2﹣3bx+2x≥0對任意x∈(0, )恒成立.

對任意x∈(0, )恒成立.

∴b的取值范圍是


【解析】(1)把b=4代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對定義域分段,由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性,從而求得極值;(2)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0, )上大于等于0恒成立,得到 對任意x∈(0, )恒成立.由單調(diào)性求出 的范圍得答案.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此作了四次試驗(yàn),得到的數(shù)據(jù)如下:

零件的個(gè)數(shù)x(個(gè))

2

3

4

5

加工的時(shí)間y(小時(shí))

2.5

3

4

4.5

(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程

(3)試預(yù)測加工10個(gè)零件需要多少小時(shí)?

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【題目】已知函數(shù)
f(x)=(cosx﹣x)(π+2x)﹣ (sinx+1)
g(x)=3(x﹣π)cosx﹣4(1+sinx)ln(3﹣
證明:
(1)存在唯一x0∈(0, ),使f(x0)=0;
(2)存在唯一x1∈( ,π),使g(x1)=0,且對(Ⅰ)中的x0 , 有x0+x1<π.

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【題目】已知函數(shù)

1)當(dāng)時(shí),函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值;

2)當(dāng)時(shí),

若對于任意,恒有,求的取值范圍;

,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值

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【題目】隨機(jī)將1,2,…,2n(n∈N* , n≥2)這2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成A、B兩組,每組n個(gè)數(shù),A組最小數(shù)為a1 , 最大數(shù)為a2;B組最小數(shù)為b1 , 最大數(shù)為b2;記ξ=a2﹣a1 , η=b2﹣b1
(1)當(dāng)n=3時(shí),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”,求事件C發(fā)生的概率P(C);
(3)對(2)中的事件C, 表示C的對立事件,判斷P(C)和P( )的大小關(guān)系,并說明理由.

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(2)若,求此時(shí)管道的長度;

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