【題目】如圖,在幾何體中,四邊形是邊長為2的菱形,平面,平面 .

(1)當(dāng)長為多少時,平面平面?

(2)在(1)的條件下,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)二面角E-AC-F的余弦值為.

【解析】試題分析:(1)先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用向量垂直列方程組,解得各面法向量,根據(jù)平面垂直得兩法向量數(shù)量積為零,解得長,(2)利用方程組先解出各面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求兩法向量夾角,再根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系求結(jié)果.

試題解析:(1)連接BD交AC于點(diǎn)O,則AC⊥BD.

取EF的中點(diǎn)G,連接OG,則OG∥DE.

∵DE⊥平面ABCD,∴OG⊥平面ABCD.

∴OG,AC,BD兩兩垂直.

∴以AC,BD,OG所在直線分別作為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),

設(shè),

由題意,易求,

設(shè)平面AEF,平面CEF的法向量分別為

,得,∴

解得. 令,∴.

同理可求.

若平面AEF⊥平面CEF,則,

解得(舍),

即BF長為時,平面AEF⊥平面CEF.

(2)當(dāng)時,

,,∴EF⊥AF,EF⊥CF,

∴EF⊥平面AFC,

∴平面AFC的一個法向量為

設(shè)平面AEC的一個法向量為,則

,∴,得,

,得,∴.

從而.

故所求的二面角E-AC-F的余弦值為.

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【題目】為創(chuàng)建國家級文明城市,某城市號召出租車司機(jī)在高考期間至少參加一次“愛心送考”,該城市某出租車公司共200名司機(jī),他們參加“愛心送考”的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.

(1)求該出租車公司的司機(jī)參加“愛心送考”的人均次數(shù);

(2)從這200名司機(jī)中任選兩人,設(shè)這兩人參加送考次數(shù)之差的絕對值為隨機(jī)變量,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).

1)求實(shí)數(shù)的值;

2)若的圖像在直線下方,求b的取值范圍;

3)設(shè)函數(shù),若上的最小值為0,求實(shí)數(shù)m的值.

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【題目】某地公共電汽車和地鐵按照里程分段計(jì)價(jià),具體如下表:

乘公共電汽車方案

10公里(含)內(nèi)2元;

10公里以上部分,每增加1元可乘坐5公里(含)

乘坐地鐵方案

6公里(含)內(nèi)3元;

6公里至12公里(含)4元;

12公里至22公里(含)5元;

22公里至32公里(含)6元;

32公里以上部分,每增加1元可乘坐20公里(含)

已知在一號線地鐵上,任意一站到站的票價(jià)不超過5元,現(xiàn)從那些只乘坐一號線地鐵,且在站出站的乘客中隨機(jī)選出120人,他們乘坐地鐵的票價(jià)統(tǒng)計(jì)如圖所示.

(Ⅰ)如果從那些只乘坐一號線地鐵,且在站出站的乘客中任選1人,試估計(jì)此人乘坐地鐵的票價(jià)小于5元的概率;

(Ⅱ)已知選出的120人中有6名學(xué)生,且這6名學(xué)生中票價(jià)為3、4、5元的人數(shù)分別為3,2,1人,現(xiàn)從這6人中隨機(jī)選出2人,求這2人的票價(jià)和恰好為8元的概率;

(Ⅲ)小李乘坐一號線地鐵從地到站的票價(jià)是5元,返程時,小李乘坐某路公共電汽車所花交通費(fèi)也是5元,假設(shè)小李往返過程中乘坐地鐵和公共電汽車的路程均為公里,試寫出的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如下圖所示,在三棱錐PABC中,PA⊥底面ABC,PAAB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,點(diǎn)D,E分別在棱PB,PC上,且DEBC.

(1)求證:BC⊥平面PAC;

(2)當(dāng)DPB的中點(diǎn)時,求AD與平面PAC所成的角的正弦值;

(3)是否存在點(diǎn)E,使得二面角ADEP為直二面角?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在一次詩詞知識競賽調(diào)查中,發(fā)現(xiàn)參賽選手分為兩個年齡(單位:歲)段:,,其中答對詩詞名句與否的人數(shù)如圖所示.

(1)完成下面2×2列聯(lián)表;

年齡段

正確

錯誤

合計(jì)

合計(jì)

(2)是否有90%的把握認(rèn)為答對詩詞名句與年齡有關(guān),請說明你的理由;

(3)現(xiàn)按年齡段分層抽樣選取6名選手,若從這6名選手中選取3名選手,求3名選手中年齡在歲范圍人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】點(diǎn)分別是正方體的棱的中點(diǎn),如圖所示,則下列命題中的真命題是________(寫出所有真命題的編號).

①以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的四個面中最多只有三個面是直角三角形;②點(diǎn)在直線上運(yùn)動時,總有;③點(diǎn)在直線上運(yùn)動時,三棱錐的體積的定值;④若點(diǎn)是正方體的面內(nèi)的一動點(diǎn),且到點(diǎn)距離相等,則點(diǎn)的軌跡是一條線段.

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【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)在x=2處取得極值,求的極大值;

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