【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= x3+ax2﹣8x﹣1(a<0).若曲線y=f(x)的切線斜率的最小值是﹣9.求:
(1)a的值;
(2)函數(shù)f(x)的極值.
【答案】
(1)解:∵f(x)= x3+ax2﹣8x﹣1,
∴f′(x)=x2+2ax﹣8.
∴當(dāng)x=﹣a時(shí),f′(x)有最小值﹣a2﹣8
由已知:﹣a2﹣8=﹣9,∴a2=1
∵a<0,∴a=﹣1
(2)解:由(1)f′(x)=x2﹣2x﹣8
令f′(x)=0得x=﹣2或4
當(dāng)x變化時(shí),f′(x)及f(x)的變化情況如下表:
x | (﹣∞,﹣2) | ﹣2 | (﹣2,4) | 4 | (4,+∞) |
f′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | 極大值 | 極小值 |
∴當(dāng)x=﹣2時(shí),f(x)取得極大值,極大值為f(﹣2)= ;
當(dāng)x=4時(shí),f(x)取得極小值,極小值為f(4)=﹣
【解析】(1)先求出導(dǎo)函數(shù)的最小值,利用曲線y=f(x)的切線斜率的最小值是﹣9,求出a的值即可;(2)先求導(dǎo)數(shù)fˊ(x),在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得函數(shù)f(x)的極大值和極小值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為A1B1 , CD的中點(diǎn).
(1)求| |
(2)求直線EC與AF所成角的余弦值;
(3)求二面角E﹣AF﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,E是BC的中點(diǎn),求證:
(Ⅰ)平面AB1E⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ)A1C//平面AB1E.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=2cos x(sin x+cos x).
(1)求f的值;
(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知下列四個(gè)命題:
p1:若直線l和平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則l⊥α;
p2:若f(x)=2x﹣2﹣x , 則x∈R,f(﹣x)=﹣f(x);
p3:若 ,則x0∈(0,+∞),f(x0)=1;
p4:在△ABC中,若A>B,則sinA>sinB.
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0, ),且f′(x)=﹣x﹣1,則不等式f(10x)>0的解集為( )
A.(﹣3,1)
B.(﹣lg3,0)
C.( ,1)
D.(﹣∞,0)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品,根據(jù)檢測標(biāo)準(zhǔn),其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關(guān)系式(為大于的常數(shù)),現(xiàn)隨機(jī)抽取件合格產(chǎn)品,測得數(shù)據(jù)如下:
尺寸 | ||||||
質(zhì)量 |
對數(shù)據(jù)作了初步處理,相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表:
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程;
(2)按照某項(xiàng)指標(biāo)測定,當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品,現(xiàn)從抽取的件合格產(chǎn)品中再任選件,記為取到優(yōu)等品的件數(shù),試求隨機(jī)變量的分布列和期望.
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的離心率為, 為該橢圓的右焦點(diǎn),過點(diǎn)任作一直線交橢圓于兩點(diǎn),且的最大值為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為,若直線分別交直線于兩點(diǎn),求證: .
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