Question

（2011•武漢模擬）在△ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM=2，則

OA

•(

OB

+

OC

)的最小值是（　�。�

A．-4

B．-2

C．2

D．4

Answer 1

分析：由題意畫(huà)出草圖分析，由于在△ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以

OB

+

OC

=2

OM

，所以

OA

•(

OB

+

OC

)═

OA

•2

OM

，而|OA|+|OM|=2≥2

|OA|•|OM|

利用均值不等式即可求得．

解答：解：由題意畫(huà)出草圖：

由于點(diǎn)M為△ABC中邊BC的中點(diǎn)，∴

OB

+

OC

=2

OM

，
∴

OA

•（

OB

+

OC

）=

OA

•2

OM

=-2|OA|•|OM|．
∵O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，即A、O、M三點(diǎn)共線
∴|AM|=|OA|+|OM|=2≥2

|OA|•|OM|

  （當(dāng)且僅當(dāng)“OA=OM“時(shí)取等號(hào)）⇒|OA|•|OM|≤1，
又

OA

•2

OM

=-2|OA|•|OM|≥-2，所以則

OA

•(

OB

+

OC

)的最小值為-2．
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的中線，兩向量的和的平行四邊形法則，均值不等式及不等式的性質(zhì)．