【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形為邊長為2的菱形,,的中點,,

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求直線與平面所成的角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)連接,交于點,連接,然后利用中位線定理和線面平行的判定定理證明即可;

(Ⅱ)建立如圖所示空間直角坐標系,先求出點坐標,求出直線的方向向量和平面的法向量,然后利用空間向量的夾角公式求解.

解:(Ⅰ)證明:連接,交于點,連接,則,因為平面,平面,

所以平面

(Ⅱ)建立如圖所示的空間直角坐標系,

則易知,,,設(shè),

因為,所以,

,解得,即,

,

因為,,

設(shè)平面的一個法向量為,

,取,則,

所以平面的一個法向量為,

設(shè)直線與平面所成的角為,

【名師指導】

本題考查空間中直線與平面的平行關(guān)系、直線與平面所成角、空間法向量的應用.求空間角,常常建立空間直角坐標系,用空間向量法計算,可減少邏輯思維量,但對計算能力要求較高.

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