Question

【題目】設(shè)是正整數(shù)，集合是數(shù)集的一個(gè)子集，且中任意兩個(gè)數(shù)的差不等于4或7.若的元素個(gè)數(shù)的最大值記為（如，），試求.

Answer 1

【答案】

【解析】

易知1、4、6、7、9這五個(gè)數(shù)中的任意兩個(gè)數(shù)的差都不是4或7，各加上11得到12、15、17、18、20，顯然也是這樣的數(shù)，且各與前五個(gè)數(shù)中的任意一個(gè)數(shù)的差也不是4或7.由此類推知，對(duì)于每個(gè)確定的正整數(shù)，每連續(xù)11個(gè)數(shù)中可取五個(gè)數(shù)，余下的個(gè)數(shù)中取個(gè)數(shù)，一起組成集合（表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)）.

下面證明：中不可能包含更多的數(shù).

倘若不然，則上述中前各11數(shù)組中至少有一組可以從中取六個(gè)數(shù)，使得任意兩個(gè)數(shù)之差都不是4或7.

不妨考慮1，2，，11這組數(shù)，把它們分成五個(gè)小組：

，，，，，其中，至少要求有一組要取出兩個(gè)數(shù).顯然，前四組中每組的兩個(gè)數(shù)不能同取，最多一組取一個(gè)數(shù)，因此，只能在第五組中取4、7.

于是，中只能取1，中只能取9，中只能取6.

這樣，中3、10這兩個(gè)數(shù)都不能取，從而知不可能取得第六個(gè)數(shù).故

.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，如，可考慮余下1，2，…，8這八個(gè)數(shù)，把它們分成四個(gè)組：

，，，，每組取一個(gè)共4個(gè)，即；

當(dāng)時(shí)，如，可考慮余下1，2，…，9這九個(gè)數(shù)，把它們分成五個(gè)組：

，，，，，可取1、3、4、6、9這五個(gè)數(shù)，.

因?yàn)?/span>，所以，

.