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（2012•湖南模擬）如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（即底面為正方形的直四棱柱）中，AA1=2AB=4，點 E 在 CC1 上且 C1E=3EC．
（1）證明：A1C丄平面BED；
（2）求直線A1C與平面A1DE所成角的正弦值．
分析：（1）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD1為z軸，建立空間直角坐標系，則
A1C
=(-2，2，-4)，
DB
=(2，2，0)，
DE
=(0，2，1)，由向量法能夠證明A1C丄平面BED．
（2）由
A1E
=(-2，2，-3)，
A1D
=(-2，0，-4)，求出平面A1DE的法向量
n
=(-4，-1，2)，取
A1C
=（-2，2，-4），
設直線A1C與平面A1DE所成角為θ，由sinθ=|cos＜
n
，
A1C
＞|能求出直線A1C與平面A1DE所成角的正弦值．
解答：（1）證明：如圖，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD1為z軸，建立空間直角坐標系，
則A1（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1）
∴
A1C
=(-2，2，-4)，
DB
=(2，2，0)，
DE
=(0，2，1)，
∵
A1C
•
DB
=-2×2+2×2-4×0=0，
A1C
•
DE
=-2× 0+2×2-4×1=0，
∴
A1C
⊥
DB
，
A1C
⊥
DE
，
∴A1C丄平面BED．
（2）解：∵
A1E
=(-2，2，-3)，
A1D
=(-2，0，-4)，
設平面A1DE的法向量為
n
=(x，y，z)，
∵
n
•
A1E
=0，
n
•
A1D
=0，
∴
-2x+2y-3z=0
-2x-4z=0
，
取
n
=(-4，-1，2)，
A1C
=（-2，2，-4），
設直線A1C與平面A1DE所成角為θ，
則sinθ=|cos＜
n
，
A1C
＞|=|
8-2-8
21
•
24
|=
14
42
，
∴直線A1C與平面A1DE所成角的正弦值為
14
42
．
點評：本題考查直線與平面垂直的證明和求直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，合理地建立空間直角坐標系，注意向量法的靈活運用．
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（2012•湖南模擬）已知函數f(x)=
1
2
x2+x-(x+1)ln(x+1)
（1）判斷f（x）的單調性；
（2）記φ（x）=f′（x-1）-k（x-1），若函數φ（x）有兩個零點x1，x2（x1＜x2），求證：φ′(
x1+x2
2
)＞0．

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（2012•湖南模擬）已知向量
m
=(2cos2x，
3
)，
n
=(1，sin2x)，函數f(x)=
m
•
n
．
（1）求函數f（x）的對稱中心；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f(C)=3，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．

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（2012•湖南模擬）設函數y=f（x）在區(qū)間（a，b）的導函數f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）的導函數f″（x），若在區(qū)間（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，則稱函數f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數”，已知f(x)=
1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2，若當實數m滿足|m|≤2時，函數f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數”，則b-a的最大值為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）已知函數f(x)=
-x-1(x＜-2)
x+3(-2≤x≤
1
2
)
5x+1(x＞
1
2
)
（x∈R），
（Ⅰ）求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知m∈R，命題p：關于x的不等式f（x）≥m2+2m-2對任意x∈R恒成立；命題q：函數y=（m2-1）x是增函數．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數m的取值范圍．

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（2012•湖南模擬）設曲線y=xn+1（n∈N）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，則x1•x2•x3•…•x2012的值為
1
2013
1
2013
．

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