Question

在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則

EC

•

EM

的最大值為

 

．

Answer 1

分析：建立直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積運(yùn)算和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，
則B（1，0），C（1，1），M(1，

1

2

)．
設(shè)E（x，0），（0≤x≤1）
則

EC

•

EM

=（1-x，1）•(1-x，

1

2

)=(x-1)2+

1

2

=f（x）
∵x∈[0，1]，
∴f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減，因此當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最大值．
∴

EC

•

EM

的最大值=f（0）=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算和二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．