【題目】已知函數(shù)f(x)= (t+1)lnx,,其中t∈R.

(1)若t=1,求證:當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0成立;

(2)若t> ,判斷函數(shù)g(x)=x[f(x)+t+1]的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】(1)見解析(2)1

【解析】試題分析:(1)當(dāng)時(shí),對(duì)求導(dǎo), 得增區(qū)間, 得減區(qū)間,進(jìn)而求出函數(shù)的最小值值,即可證明;(2)t> ,求得函數(shù)g(x)=x[f(x)+t+1]的導(dǎo)函數(shù),研究其單調(diào)性,根據(jù)零點(diǎn)定理再利用導(dǎo)數(shù)即可判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

試題解析:解:(1)t=1時(shí),f(x)=x﹣﹣2lnx,x>0

∴f′(x)=1+==≥0,

∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,

∴f(x)>f(1)=1﹣1﹣0=0,

∴x>1,f(x)>0成立,

(2)當(dāng)x(0,+∞),g(x)=tx2﹣(t+1)xlnx+(t+1)x﹣1

∴g′(x)=2tx﹣(t+1)lnx,

設(shè)m(x)=2tx﹣(t+1)lnx, ∴m′(x)=2t﹣=,

令m′(x)=0,得x=,

當(dāng)0<x<時(shí),m'(x)<0;當(dāng)時(shí)x>,m'(x)>0.

∴g'(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.

∴g'(x)的最小值為g′()=(t+1)(1﹣ln),

∵t>,∴ =++<e.

∴g'(x)的最小值g′()=(t+1)(1﹣ln)>0,

從而,g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.

又g(1)=2t>0,又g()=+(6+2lnt)﹣1,

設(shè)h(t)=e3t﹣(2lnt+6).

則h′(t)=e3

令h'(t)=0得t=.由h'(t)<0,得0<t<;

由h'(t)>0,得t>

∴h(t)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.

∴h(t)min=h()=2﹣2ln2>0.

∴h(t)>0恒成立.∴e3t>2lnt+6,.

∴g()<+﹣1=++﹣1<++﹣1<0.

∴當(dāng)t>時(shí),函數(shù)g(x)恰有1個(gè)零點(diǎn)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某水果店購(gòu)進(jìn)某種水果的成本為,經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),這種水果在未來30天的銷售單價(jià)與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為,銷售量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為。

該水果店哪一天的銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

為響應(yīng)政府“精準(zhǔn)扶貧”號(hào)召,該店決定每銷售水果就捐贈(zèng)元給精準(zhǔn)扶貧對(duì)象.欲使捐贈(zèng)后不虧損,且利潤(rùn)隨時(shí)間 的增大而增大,求捐贈(zèng)額的值。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知二次函數(shù)滿足),且.

(1)求的解析式;

(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍(注:相等的實(shí)數(shù)根算一個(gè)).

(3)函數(shù),試問是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意, 都有成立,若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍,若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2015男籃亞錦賽決賽階段,中國(guó)男籃以9連勝的不敗戰(zhàn)績(jī)贏得第28屆亞錦賽冠軍,同時(shí)拿到亞洲唯一1張直通里約奧運(yùn)會(huì)的入場(chǎng)券,賽后,中國(guó)男籃主力易建聯(lián)榮膺本屆亞錦賽(最有價(jià)值球員),下表是易建聯(lián)在這9場(chǎng)比賽中投籃的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).

注:(1)表中表示出手次命中次;

(2)(真實(shí)得分率)是衡量球員進(jìn)攻的效率,其計(jì)算公式為:

(1)從上述9場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng),求易建聯(lián)在該場(chǎng)比賽中超過50%的概率;

(2)從上述9場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng),求易建聯(lián)在該場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)超過60%的概率;

(3)用來表示易建聯(lián)某場(chǎng)的得分,用來表示中國(guó)隊(duì)該場(chǎng)的總分,畫出散點(diǎn)圖如圖所示,請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系?結(jié)合實(shí)際簡(jiǎn)單說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知某射擊運(yùn)動(dòng)員每次擊中目標(biāo)的概率都是0.8.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次,至多擊中1次的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生09之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定0,1表示沒有擊中目標(biāo),2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo);因?yàn)樯鋼?/span>4次,故以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):

5 727 0 293 7 140 9 857 0 347

4 373 8 636 9 647 1 417 4 698

0 371 6 233 2 616 8 045 6 011

3 661 9 597 7 424 6 710 4 281

據(jù)此估計(jì),該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至多擊中1次的概率為(  )

A. 0.95 B. 0.1

C. 0.15 D. 0.05

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)fx)=x3+3x2-9x

(I)求fx)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù)fx)在區(qū)間[-4,c]上的最小值為-5,求c的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率為40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算器算出09之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示沒有命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為(  )

A. 0.35 B. 0.25

C. 0,20 D. 0.15

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一個(gè)學(xué)生在一次競(jìng)賽中要回答道題是這樣產(chǎn)生的道物理題中隨機(jī)抽取;道化學(xué)題中隨機(jī)抽取;道生物題中隨機(jī)抽取.使用合適的方法確定這個(gè)學(xué)生所要回答的三門學(xué)科的題的序號(hào)(物理題的編號(hào)為,化學(xué)題的編號(hào)為,生物題的編號(hào)為.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司試銷某種“上海世博會(huì)”紀(jì)念品,每件按30元銷售,可獲利50%,設(shè)每件紀(jì)念品的成本為a元.

(1)試求a的值;

(2)公司在試銷過程中進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)查,發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與每件售價(jià)x(元)滿足關(guān)系y=-10x+800.設(shè)每天銷售利潤(rùn)為W(元),求每天銷售利潤(rùn)W(元)與每件售價(jià)x(元)之間的函數(shù)解析式;當(dāng)每件售價(jià)為多少時(shí),每天獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案