已知圓滿足：
①截y軸所得弦長(zhǎng)為2；
②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為.
求在滿足條件①②的所有圓中，使代數(shù)式取得最小值時(shí)，圓的方程．

，或

解析試題分析：由①②，根據(jù)直線與圓相交時(shí)，半徑、半弦與弦心距的關(guān)系，得到參數(shù)的關(guān)系式，從而可把代數(shù)式化成關(guān)于或的一元二次函數(shù)，求出這個(gè)二次函數(shù)的最值及取得最值時(shí)相對(duì)應(yīng)的的值，最后確定圓的方程.
試題解析：如下圖所示，圓心坐標(biāo)為P(a，b)，半徑為r，則點(diǎn)P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|.

∵圓P被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3：1，
∴.
取AB的中點(diǎn)D，連接PD，
則有，∴.
取圓P截y軸的弦的中點(diǎn)C，連接PC，PE.
∵圓截y軸所得弦長(zhǎng)為2，
∴，∴，
即.
則＝.
∴當(dāng)b＝1時(shí)，取得最小值2，
此時(shí)a＝1，或a＝－1，r2＝2.
對(duì)應(yīng)的圓為：，
或.
∴使代數(shù)式取得最小值時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓為
，或.
考點(diǎn)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與圓的位置關(guān)系；3、一元二次函數(shù)的最值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓的方程為，直線，設(shè)點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)在圓外，試判斷直線與圓的位置關(guān)系；
（2）若點(diǎn)在圓上，且，，過(guò)點(diǎn)作直線分別交圓于兩點(diǎn)，且直線和的斜率互為相反數(shù)；
① 若直線過(guò)點(diǎn)，求的值；
② 試問(wèn)：不論直線的斜率怎樣變化，直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知：圓C過(guò)點(diǎn)A（6,0），B（1,5）且圓心在直線上，求圓C的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

求過(guò)直線與已知圓的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為8的圓的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

求半徑為4，與圓x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直線y＝0相切的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知直線l1、l2分別與拋物線x2＝4y相切于點(diǎn)A、B，且A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a、b(a、b∈R)．
(1)求直線l1、l2的方程；
(2)若l1、l2與x軸分別交于P、Q，且l1、l2交于點(diǎn)R，經(jīng)過(guò)P、Q、R三點(diǎn)作圓C.
①當(dāng)a＝4，b＝－2時(shí)，求圓C的方程；
②當(dāng)a，b變化時(shí)，圓C是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出所有定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓C過(guò)點(diǎn)P(1，1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對(duì)稱(chēng)．
(1)求圓C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于A、B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓，設(shè)點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是，點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為．
(1)若，求直線的方程；
(2)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心是，求線段(為坐標(biāo)原點(diǎn)）長(zhǎng)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓.
（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程；
（2）若圓的半徑為4，圓心在直線：上，且與圓內(nèi)切，求圓 的方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案