Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD= ，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn)．

（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；
（3）線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為 ？若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△PAD卡中PA=PD，O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD．

又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD

（2）解：連接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD=BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，

所以O(shè)B∥DC．

由（1）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，

所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角．

因為AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以O(shè)B= ，

在Rt△POA中，因為AP= ，AO=1，所以O(shè)P=1，

在Rt△PBO中，PB= ，所以cos∠PBO= ，

所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為

（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為 ．

設(shè)QD=x，則S△DQC= x，由（2）得CD=OB= ，

在Rt△POC中，PC= ，

所以PC=CD=DP，S△PCD= = ，

由Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，得x= ，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時 = ．

【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可知，只需證直線PO垂直平面ABCD中的兩條相交直線垂直即可；（2）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點(diǎn)B，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；（3）利用Vp﹣DQC=VQ﹣PCD ， 即可得出結(jié)論．