Question

函數(shù)f( x )=2x-

a

x

的定義域?yàn)椋?，1]（a為實(shí)數(shù)）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)a的值求出函數(shù)f（x）的解析式，然后利用基本不等式求出函數(shù)y=f（x）的最小值，注意等號(hào)成立的條件，從而求出函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）將函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，轉(zhuǎn)化成f′（x）≤0對(duì)x∈（0，1]恒成立，然后將a分離出來(lái)得到a≤-2x²，
x∈（0，1]，只需a≤（-2x²）_min即可，從而求出a的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=2x+

1

x

≥2

2

，∵x∈（0，1]
∴當(dāng)且僅當(dāng)2x=

1

x

，即x=

2

2

時(shí)，f(x)min=2

2

，
所以函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[2

2

，+∞)；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，
所以f′(x)=2+

a

x2

=

2x2+a

x2

≤0對(duì)x∈（0，1]恒成立，
即a≤-2x²，x∈（0，1]，所以a≤（-2x²）_min，
所以a≤-2，故a的取值范圍是：（-∞，-2]；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用基本不等式方法進(jìn)行探索求值域，屬于基礎(chǔ)題．