Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)、的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn)，稱(chēng)的最小值為點(diǎn)到直線(xiàn)的“切比雪夫距離”，記作，給出四個(gè)命題，正確的是________.

①對(duì)任意三點(diǎn)、、，都有；

② 到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于的點(diǎn)的軌跡是正方形；

③ 已知點(diǎn)和直線(xiàn)，則；

④ 定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡與直線(xiàn)（為常數(shù)）有且僅有個(gè)公共點(diǎn).

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①討論、、三點(diǎn)共線(xiàn)，以及不共線(xiàn)的情況，結(jié)合圖象和新定義，即可判斷；

②運(yùn)用新定義，求得點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷；

③設(shè)點(diǎn)是直線(xiàn)上一點(diǎn)，且點(diǎn)，可得，討論和的大小，可得距離，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；

④討論點(diǎn)在坐標(biāo)軸上和各個(gè)象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷.

①對(duì)任意三點(diǎn)、、，若它們共線(xiàn)，設(shè)、、，

如下圖，結(jié)合三角形相似可得或，或，或，則；

若、或、對(duì)調(diào)，可得；

若、、不共線(xiàn)，且中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，

；

則對(duì)任意的三點(diǎn)、、，都有，命題①正確；

②到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于的點(diǎn)，即為，若，則；

若，則，故所求軌跡是正方形，命題②正確；

③設(shè)點(diǎn)是直線(xiàn)上一點(diǎn)，且，可得，

由，解得，即有.

當(dāng)時(shí)，取得最小值；

由，解得或，即有，

的取值范圍是，無(wú)最值，

所以，、兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為，命題③正確；

④定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，

可得不在上，在線(xiàn)段間成立，可得，解得.

由對(duì)稱(chēng)性可得也成立，即有兩點(diǎn)滿(mǎn)足條件；

若在第一象限內(nèi)，滿(mǎn)足，即為，為射線(xiàn)，

由對(duì)稱(chēng)性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線(xiàn)，

則點(diǎn)的軌跡與直線(xiàn)（為常數(shù)）有且僅有個(gè)公共點(diǎn)，命題④正確.

故答案為：①②③④.