【題目】已知f(x)=sin2(2x﹣ )﹣2tsin(2x﹣ )+t2﹣6t+1(x∈[ , ])其最小值為g(t).
(1)求g(t)的表達式;
(2)當﹣ ≤t≤1時,要使關(guān)于t的方程g(t)=kt有一個實根,求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵x∈[ , ],
∴sin(2x﹣ )∈[﹣ ,1],
∴f(x)=[sin(2x﹣ ﹣t]2﹣6t+1,
當t<﹣ 時,則當sinx=﹣ 時,f(x)min= ;
當﹣ ≤t≤1時,當sinx=t時,f(x)min=﹣6t+1;
當t>1時,當sinx=1時,f(x)min=t2﹣8t+2;
∴g(t)=
(2)解:當 時,g(t)=﹣6t+1.令h(t)=g(t)﹣kt.
欲使g(t)=kt有一個實根,則只需使 或 即可.
解得k≤﹣8或k≥﹣5.
【解析】(1)利用x的范圍確定sin(2x﹣ ),對函數(shù)解析式化簡整理,對t進行分類討論,利用拋物線的性質(zhì)求得每種情況的g(t)的解析式,最后綜合.(2)根據(jù)(1)中獲得當 時g(t)的解析式,令h(t)=g(t)﹣kt,要使g(t)=kt有一個實根需h(﹣ )和h(1)異號即可.
【考點精析】關(guān)于本題考查的三角函數(shù)的最值,需要了解函數(shù),當時,取得最小值為;當時,取得最大值為,則,,才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知, ,曲線上的任意一點滿足: .
(1)求點的軌跡方程;
(2)過點的直線與曲線交于, 兩點,交軸于點,設(shè), ,試問是否為定值?如果是定值,請求出這個定值,如果不是定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某顏料公司生產(chǎn) 兩種產(chǎn)品,其中生產(chǎn)每噸產(chǎn)品,需要甲染料1噸,乙染料4噸,丙染料2噸,生產(chǎn)每噸產(chǎn)品,需要甲染料1噸,乙染料0噸,丙染料5噸,且該公司一條之內(nèi)甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過50噸,160噸和200噸,如果產(chǎn)品的利潤為300元/噸, 產(chǎn)品的利潤為200元/噸,則該顏料公司一天之內(nèi)可獲得最大利潤為( )
A. 14000元 B. 16000元 C. 18000元 D. 20000元
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(2x﹣ ),x∈R.
(1)在給定的平面直角坐標系中,畫函數(shù)f(x)=2sin(2x﹣ ),x∈[0,π]的簡圖;
(2)求f(x)=2sin(2x﹣ ),x∈[﹣π,0]的單調(diào)增區(qū)間;
(3)函數(shù)g(x)=2cos2x的圖象只經(jīng)過怎樣的平移變換就可得到f(x)=2sin(2x﹣ ),x∈R的圖象?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】用長14.8 m的鋼條制作一個長方體容器的框架,如果所制的底面的一邊比另一邊長0.5 m,那么容器的最大容積為________m3.
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