Question

給出下列四個(gè)命題：
（1）函數(shù)y=sin（kπ+x），（k∈Z）是奇函數(shù)；
（2）函數(shù)y=sin(2x+

π

3

)的圖象由y=sin2x的圖象向左平移

π

3

個(gè)單位得到；
（3）函數(shù)y=sin(2x+

π

2

)的對(duì)稱軸是x=

kπ

2

  (k∈Z)；
（4）函數(shù)y=（sinx+cosx）²+cos2x的最大值為3．
其中正確命題的序號(hào)是

（1）（3）

（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義即可判斷；
（2）利用平移變換“左加右減”即可判斷出；
（3）經(jīng)過(guò)函數(shù)y=sin(2x+

π

2

)的圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且與y軸平行的直線是其對(duì)稱軸，先求出即可判斷；
（4）先化簡(jiǎn)，進(jìn)而利用三角函數(shù)的最值即可判斷．

解答：解：（1）∵函數(shù)y=sin（kπ+x）=（-1）^ksinx（k∈Z），∴f（-x）=（-1）^ksin（-x）=-（-1）^ksinx=-f（x），故是奇函數(shù)，正確；
（2）由y=sin2x的圖象向左平移

π

3

個(gè)單位得到y(tǒng)=sin2(x+

π

3

)=sin(

π

3

-2x)≠sin(2x+

π

3

)，因此（2）不正確；
（3）由sin(2x+

π

2

)=±1，解得x=

kπ

2

，（k∈Z），故函數(shù)y=sin(2x+

π

2

)的對(duì)稱軸是x=

kπ

2

  (k∈Z)，因此（3）正確；
（4）∵函數(shù)y=（sinx+cosx）²+cos2x=1+sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)+1，當(dāng)sin(2x+

π

4

)=1時(shí)，函數(shù)y=（sinx+cosx）²+cos2x的最大值為

2

+1，因此（4）不正確．
綜上可知：正確的命題為（1）（3）．
故答案為（1）（3）．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其變換是解題的關(guān)鍵．