Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，其上頂點(diǎn)為A．已知△F₁AF₂是邊長(zhǎng)為2的正三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q（-4，0）任作一動(dòng)直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記

MQ

=-λ•

QN

若在線段MN上取一點(diǎn)R，使得

MR

=λ•

RN

，試判斷當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R是否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)？若在，請(qǐng)求出該定直線的方程；若不在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由△F₁AF₂是邊長(zhǎng)為2的正三角形，可得c=1，a=2，從而可求b，即可得到橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，由

MQ

=-λ•

QN

，確定λ的值，由

MR

=λ•

RN

，可得R的橫坐標(biāo)為定值，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵已知△F₁AF₂是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∴c=1，a=2，…（2分）
∴b=

a2-c2

=

3

∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）直線MN的斜率必存在，設(shè)其直線方程為y=k（x+4），并設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0，則
△=144（1-4k²）＞0，x₁+x₂=

-32k2

3+4k2

，x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

  …（7分）
由

MR

=λ•

RN

，得-4-x₁=λ（x₂+4），故λ=-

x1+4

x2+4

．…（9分）
設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則由

MQ

=-λ•

QN

得x₀-x₁=-λ（x₂-x₀），解得
x0=

x1-λx2

1-λ

=

x1+ x1+4 x2+4 ×x2

1+ x1+4 x2+4

=

2x1x2+4(x1+x2)

(x1+x2)+8

=

2× 64k2-12 3+4k2 +4× -32k2 3+4k2

-32k2 3+4k2 +8

=-1．…（13分）
故點(diǎn)R在定直線x=-1上．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．