如圖，已知橢圓C：
x2
36
+
y2
20
=1的左頂點，右焦點分別為A，F(xiàn)，右準線為l，N為l上一點，且在x軸上方，AN與橢圓交于點M．
（1）若AM=MN，求證：AM⊥MF；
（2）過A，F(xiàn)，N三點的圓與y軸交于P，Q兩點，求PQ的最小值．
分析：（1）要證AM⊥MF，只需證
MA
•
MF
=0，分別求出
MA
，
MF
的坐標，利用數(shù)量積的坐標運算計算即可．
（2）欲求|PQ|的范圍，需先將|PQ|用某個參數(shù)表示，再求最值，可先找到圓心坐標和半徑，再利用圓中半徑，半弦，弦心距組成的直角三角形，得到用參數(shù)表示的|PQ|，再用均值不等式求PQ的最小值．
解答：解：（1）由題意得A（-6，0），F(xiàn)（4，0），由準線l：x=
a2
c
=9，∴xN=9，∴xM=
3
2
．
又M點在橢圓上，且在x軸上方，得yM=
5
3
2
，
∴
MA
=(-
15
2
，-
5
3
2
)，
MF
=(
5
2
，-
5
3
2
)．
∴
MA
•
MF
=-
75
4
+
75
4
=0．
∴AM⊥MF；
（2）設N（9，t），其中t＞0，∵圓過A，F(xiàn)，N三點，
∴設該圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，有
36-6D+F=0
16+4D+F=0
81+t2+9D+tE+F=0
，
解得，D=2，E=-t-
75
t
，F(xiàn)=-24．
∴圓心為(-1，
1
2
(t+
75
t
))，半徑r=
25+
1
4
(t+
75
t
)2
．
∴|PQ|=2
r2-1
=2
24+(t+
75
t
)2
．
∵t＞0，∴t+
75
t
≥2
t•
75
t
=10
3
，當且僅當t=
75
t
，即當t=5
3
時取“=”．
∴|PQ|的最小值是2
99
=6
11
．
點評：本題考查了直線與圓錐曲線，圓與圓錐曲線的關系，訓練了利用數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關系，考查了利用基本不等式求最值，屬難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請說明理由；
（2）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點M、N關于直線l對稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過橢圓C上一點P（2，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于點A、B，直線AB與x軸交于點M，與y軸負半軸交于點N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時圓T的方程；
（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR|•|OS|為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左頂點，右焦點分別為A、F，右準線為m．圓D：x2+y2+x-3y-2=0．
（1）若圓D過A、F兩點，求橢圓C的方程；
（2）若直線m上不存在點Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍．
（3）在（1）的條件下，若直線m與x軸的交點為K，將直線l繞K順時針旋轉
π
4
得直線l，動點P在直線l上，過P作圓D的兩條切線，切點分別為M、N，求弦長MN的最小值．

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