【題目】

已知函數(shù)fx=,其中a>0.

)若a=1,求曲線y=fx)在點(diǎn)(2,f2))處的切線方程;

)若在區(qū)間上,fx>0恒成立,求a的取值范圍.

【答案】y=6x-90<a<5

【解析】

試題(1)利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率即可;
(2)在區(qū)間上,恒成立恒成立,令,解得,以下分兩種情況,討論,分類求出函數(shù)最大值即可.

試題解析:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x3x2+1,f(2)=3;f' (x)=3x2-3x, f' (2)=6.

所以曲線yf(x) 在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程y-3=6(x-2),即y=6x-9.

(2)f' (x)=3ax2-3x=3x(ax-1),令f' (x)=0,解得x=0或x

以下分兩種情況討論:

①若0<a≤2,則,當(dāng)x變化時(shí),f' (x),f(x)的變化情況如下表:

x

(-,0)

0

(0,

f' (x)

0

f(x)

遞增

極大值

遞減

當(dāng)x[-,]上,f(x)>0等價(jià)于,即解不等式組得-5<a<5.因此0<a≤2.

②若a>2,則0<,當(dāng)x變化時(shí),f' (x),f(x)的變化情況如下表:

X

(-,0)

0

(0,

f' (x)

0

0

f'(x)

遞增

極大值

遞減

極小值

遞增

當(dāng)x[-]上,f(x)>0等價(jià)于,即解不等式組得a<5,或a<-.因此2<a<5. 綜合①和②,可知a的取值范圍為0<a<5.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若經(jīng)過(guò),求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過(guò),請(qǐng)說(shuō)明理由.

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1)求甲同學(xué)至少抽到2B類題的概率;

2)若甲同學(xué)答對(duì)每道A類題的概率都是,答對(duì)每道B類題的概率都是,且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2A類題和1B類題,用X表示甲同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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(1)求甲隊(duì)分別以,獲勝的概率;

(2)設(shè)表示決出冠軍時(shí)比賽的場(chǎng)數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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A.B.C.D.

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