【題目】已知橢圓的中心為原點,離心率,其中一個焦點的坐標為
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)當點在橢圓上運動時,設(shè)動點的運動軌跡為若點滿足: 其中是上的點.直線的斜率之積為,試說明:是否存在兩個定點,使得為定值?若存在,求的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)詳見解析.
【解析】試題分析: (Ⅰ)根據(jù)離心率和焦點坐標以及求出橢圓的標準方程;(Ⅱ)由于點在曲線上運動時,動點的軌跡的方程為,通過可建立點T和點M,N坐標之間的關(guān)系式,通過直線的斜率之積為定值,又得到另外一個關(guān)系式,且點M,N的坐標滿足橢圓的方程,均為二次,因此給兩等式分別平方,再對應(yīng)系數(shù)比為1:2,相加即可得到關(guān)于x,y的方程,即點T的軌跡為橢圓,兩個定點為焦點.
試題解析:(Ⅰ)由題意知, 所以所以
故橢圓的方程為
(Ⅱ)設(shè)則
因為點在橢圓上運動,所以
故動點的軌跡的方程為
由得
設(shè)分別為直線的斜率,由已知條件知,所以
因為點在橢圓上,所以
故
從而知點是橢圓上的點,所以,存在兩個定點且為橢圓的兩個焦點,使得為定值.其坐標分別為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,曲線:,曲線:(為參數(shù)), 以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線,的極坐標方程;
(2)若射線:()分別交,于兩點, 求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為選拔參加“央視猜燈謎大賽”的隊員,在校內(nèi)組織猜燈謎競賽.規(guī)定:第一階段知識測試成績不小于分的學(xué)生進入第二階段比賽.現(xiàn)有名學(xué)生參加知識測試,并將所有測試成績繪制成如下所示的頻率分布直方圖.
(1)估算這名學(xué)生測試成績的中位數(shù),并求進入第二階段比賽的學(xué)生人數(shù);
(2)將進入第二階段的學(xué)生分成若干隊進行比賽.現(xiàn)甲、乙兩隊在比賽中均已獲得分,進入最后強答階段.搶答規(guī)則:搶到的隊每次需猜條謎語,猜對條得分,猜錯條扣分.根據(jù)經(jīng)驗,甲隊猜對每條謎語的概率均為,乙隊猜對每條謎語的概率均為,猜對第條的概率均為.若這兩條搶到答題的機會均等,您做為場外觀眾想支持這兩隊中的優(yōu)勝隊,會把支持票投給哪隊?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4—4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中曲線經(jīng)伸縮變換后得到曲線,在以為極點, 軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的參數(shù)方程和的直角坐標方程;
(2)設(shè)為曲線上的一點,又向曲線引切線,切點為,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是正方形, 平面, , 、、分別為、、的中點,且.
(1)求證:平面平面;
(2)求證: 平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),其中0<α<β<π.
(1)求證: 與 互相垂直;
(2)若k 與 ﹣k 的長度相等,求β﹣α的值(k為非零的常數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為推行“新課堂”教學(xué)法,某化學(xué)老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式,在甲、乙兩個平行班進行教學(xué)實驗,為了解教學(xué)效果,期中考試后,分別從兩個班級中各隨機抽取名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計,作出的莖葉圖如下圖,記成績不低于分者為“成績優(yōu)良”.
(1)分別計算甲、乙兩班個樣本中,化學(xué)分數(shù)前十的平均分,并據(jù)此判斷哪種教學(xué)方式的教學(xué)效果更
佳;
(2)甲、乙兩班個樣本中,成績在分以下(不含分)的學(xué)生中任意選取人,求這人來自不同班級的概率;
(3)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”?
甲班 | 乙班 | 總計 | |
成績優(yōu)良 | |||
成績不優(yōu)良 | |||
總計 |
附:
獨立性檢驗臨界值表:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(文科)已知的橢圓的左、右兩個焦點分別為,上頂點, 是正三角形且周長為6.
(1)求橢圓的標準方程及離心率;
(2) 為坐標原點, 是直線上的一個動點,求的最小值,并求出此時點的坐標.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點,E為線段PC上一點.
(1)求證:PA⊥BD;
(2)求證:平面BDE⊥平面PAC;
(3)當PA∥平面BDE時,求三棱錐E-BCD的體積.
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