Question

【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓C上，直線與橢圓C交于E，F兩點(diǎn)，直線AE，AF分別與y軸交于點(diǎn)M，N

Ⅰ求橢圓C的方程；

Ⅱ在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得無論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有為直角？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；(II)或．

【解析】

試題（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，結(jié)合已知及隱含條件列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設(shè)F，E，寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標(biāo)，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（±2，0），即可判斷存在點(diǎn)P

試題解析：（Ⅰ）解法一：設(shè)橢圓的方程為，

因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以．

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)在橢圓上，

由橢圓的定義知，所以．

所以，從而．

所以橢圓的方程為．

解法二：設(shè)橢圓的方程為，

因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以．①

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以． ②

由①②解得，，．

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）解法一：因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

因?yàn)橹本�與橢圓交于兩點(diǎn)，，

設(shè)點(diǎn)（不妨設(shè)），則點(diǎn)．

聯(lián)立方程組消去得．

所以，．

所以直線的方程為．

因?yàn)橹本�與軸交于點(diǎn)，

令得，即點(diǎn)．

同理可得點(diǎn)．

假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使得為直角，則．

即，即．

解得或．

故存在點(diǎn)或，無論非零實(shí)數(shù)怎樣變化，總有為直角．

解法二：因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

因?yàn)橹本�與橢圓交于兩點(diǎn)，，

設(shè)點(diǎn)（），則點(diǎn)．

所以直線的方程為．

因?yàn)橹本�與軸交于點(diǎn)，

令得，即點(diǎn)．

同理可得點(diǎn)．

假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使得為直角，則．

即，即．

解得或．

故存在點(diǎn)或，無論非零實(shí)數(shù)怎樣變化，總有為直角．