Question

正三棱錐P-ABC的底面邊長(zhǎng)為a，E、F、G、H分別是PA、AC、BC、PB的中點(diǎn)，四邊形EFGH面積記為S_（x），則S_（x）的取值范圍是

（

3 a2

12

，+∞）

．

Answer 1

分析：由棱錐P-ABC為底面邊長(zhǎng)為a的正三棱錐，知AB⊥PC，由E，F(xiàn)，G，H，分別是PA，AC，BC，PD的中點(diǎn)，知EH=FG=

1

2

AB，由此能求出四邊形EFGH的面積．

解答：解：∵棱錐P-ABC為底面邊長(zhǎng)為a的正三棱錐，
∴AB⊥PC，
又∵E，F(xiàn)，G，H，分別是PA，AC，BC，PD的中點(diǎn)，
∴EH=FG=

1

2

AB，，EF=HG=

1

2

PC，
則四邊形EFGH為一個(gè)矩形，
∵正三棱錐P-ABC的底面邊長(zhǎng)為a，
作CD⊥AB，交AB于D，則CD=

a2- 1 4 a2

=

3

2

a，
作PO⊥CD，交CD于O，則CO=

2

3

CD=

3

3

a，
在Rt△POC中，∵∠POC=90°，
∴PC＞CO=

3 a

3

，∴EF＞

3

6

a，
∴四邊形EFGH的面積為S＞

3 a2

12

，
故答案為：（

3 a2

12

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角取值范圍，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．