Question

設O是正三棱錐P-ABC的底面△ABC的中心，過O的動平面與PC交于S，與PA、PB的延長線分別交于Q、R，則

1

PQ

+

1

PR

+

1

PS

（　　）

A．有最大值而無最小值

B．有最小值而無最大值

C．無最大值也無最小值

D．是與平面QRS無關的常數(shù)

Answer 1

分析：設正三棱錐P-ABC中，各側棱兩兩夾角為α，PC與面PAB所成角為β，則v_S-PQR=

1

3

S_△PQR•h=

1

3

（

1

2

PQ•PRsinα）•PS•sinβ，記O到各面的距離為d，利用v_S-PQR=v_O-PQR+v_O-PRS+v_O-PQS，可得：PQ•PR•PS•sinβ=d（PQ•PR+PR•PS+PQ•PS），由此可得結論．

解答：解：設正三棱錐P-ABC中，各側棱兩兩夾角為α，PC與面PAB所成角為β，
則v_S-PQR=

1

3

S_△PQR•h=

1

3

（

1

2

PQ•PRsinα）•PS•sinβ．
另一方面，記O到各面的距離為d，則v_S-PQR=v_O-PQR+v_O-PRS+v_O-PQS，

1

3

S_△PQR•d=

1

3

_△PRS•d+

1

3

S_△PRS•d+

1

3

_△PQS•d=

d

3

×

1

2

PQ•PRsinα+

d

3

×

1

2

PS•PRsinα+

d

3

×

1

2

PQ•PS•sinα，
故有：PQ•PR•PS•sinβ=d（PQ•PR+PR•PS+PQ•PS），
即

1

PQ

+

1

PR

+

1

PS

=

sinβ

d

=常數(shù)．
故選D．

點評：本題考查三棱錐體積的計算，考查學生的探究能力，正確求體積是關鍵．