Question

已知長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓的離心率e=，且過(guò)點(diǎn)P（1，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)A（x₀，y₀）為圓x²+y²=1上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作圓的切線交橢圓于B，C兩點(diǎn)，求證：CO⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

（1）解：由題意，設(shè)橢圓方程為
∵e=，∴，∴a²=3b²
∵橢圓過(guò)點(diǎn)P（1，1），∴
∴a²=4，
∴橢圓的方程為；
（2）證明：由題意可求得切線方程為x₀x+y₀y=1
①若y₀=0，則切線為x=1（或x=-1），則B（1，1），C（1，-1），∴CO⊥OB（當(dāng)x=-1時(shí)同理可得）；
②當(dāng)y₀≠0時(shí)，切線方程為x₀x+y₀y=1，與橢圓聯(lián)立并化簡(jiǎn)得
∴x₁+x₂=，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=
==0
∴CO⊥OB
分析：（1）設(shè)橢圓方程，根據(jù)e=，可得a²=3b²，利用橢圓過(guò)點(diǎn)P（1，1），可得，從而可求橢圓的方程；
（2）由題意可求得切線方程為x₀x+y₀y=1．①若y₀=0，則切線為x=1（或x=-1），求得B、C的坐標(biāo)，從而可得CO⊥OB；②當(dāng)y₀≠0時(shí)，切線方程為x₀x+y₀y=1，與橢圓聯(lián)立并化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理，證明x₁x₂+y₁y₂=0即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓的切線方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．