【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)證明:.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù),當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù);(2);(3)證明見(jiàn)解析.
【解析】
試題分析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,分和兩種情況分類討論,即可求解函數(shù)的單調(diào)性;(2)由(1)知時(shí),不成立,故,又由(1)知的最大值為,只需即可,即可求解;(3)由(2)知,當(dāng)時(shí),有在恒成立,且在上是減函數(shù),進(jìn)而,則,即,即可證明結(jié)論.
試題解析:(1) 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,
當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù),
當(dāng)時(shí),若時(shí),有,
若時(shí),有,則在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).
(2)由(1)知時(shí),在上是增函數(shù),而不成立,故,又由(1)知的最大值為,要使恒成立,則即可,
即,得.
(3)由(2)知,當(dāng)時(shí),有在恒成立,且在上是減函數(shù),
,即,在上恒成立,令,則,
即,從而
得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù));在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(I)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(II)若射線與曲線,的交點(diǎn)分別為(異于原點(diǎn)),當(dāng)斜率時(shí),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了迎接世博會(huì),某旅游區(qū)提倡低碳生活,在景區(qū)提供自行車出租.該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用,管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),若每輛自行車的日租金不超過(guò)6元,則自行車可以全部租出;若超出6元,則每超過(guò)1元,租不出的自行車就增加3輛.為了便于結(jié)算,每輛自行車的日租金(元)只取整數(shù),并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用,用(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后的所得)。
(1)求函數(shù)的解析式及其定義域;
(2)試問(wèn)當(dāng)每輛自行車的日租金定為多少元時(shí),才能使一日的凈收入最多?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,直線與橢圓交于,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知三棱錐P-ABC中,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D為AB中點(diǎn),M為PB中點(diǎn),且△PDB是正三角形,PA⊥PC。
.
(1)求證:DM∥平面PAC;
(2)求證:平面PAC⊥平面ABC;
(3)求三棱錐M-BCD的體積
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某生態(tài)園將一三角形地塊的一角開辟為水果園種植桃樹,已知角為,的長(zhǎng)度均大于米,現(xiàn)在邊界處建圍墻,在處圍竹籬笆.
(1)若圍墻總 長(zhǎng)度為米,如何圍可使得三角形地塊的面積最大?
(2)已知段圍墻高米,段圍墻高米,造價(jià)均為每平方米元.若圍圍墻用了元,問(wèn)如何圍可使竹籬笆用料最?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)若存在,使得(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi),以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B,經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東+(其中sin=,)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.
(I)求該船的行駛速度(單位:海里/小時(shí));
(II)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為數(shù)列的前項(xiàng)和,且是與的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若為整數(shù),,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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