Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=sinx﹣xcosx．
（1）討論f（x）在（0，2π）上的單調(diào)性；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）﹣x2+2πx﹣m=0在（0，2π）有兩個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）求證：當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f（x）＜ x3 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=cosx﹣（cosx﹣xsinx）=xsinx，

f'（x）＞0x∈（0，π），f'（x）＜0

x∈（π，2π）f（x）的遞增區(qū)間（0，π），遞減區(qū)間（π，2π）；

（2）解：f（x）=x2﹣2πx+m，

設(shè)h（x）=x2﹣2πx+m=（x﹣π）2+m﹣π2，

由 ，解得，0＜m＜π2+π；

（3）證明：令g（x）=f（x）﹣ x3，

則g′（x）=x（sinx﹣x），

當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，設(shè)t（x）=sinx﹣x，則t′（x）=cosx﹣1＜0，

所以t（x）在x∈（0， ）單調(diào)遞減，t（x）=sinx﹣x＜t（0）=0，

即sinx＜x，所以g′（x）＜0，

所以g（x）在（0， ）上單調(diào)遞減，所以g（x）＜g（0）=0，

所以f（x）＜ x3

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）設(shè)h（x）=x2﹣2πx+m=（x﹣π）2+m﹣π2 ， 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍即可；（3）令g（x）=f（x）﹣ x3 ， 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）＜0，從而證出結(jié)論即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．