Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，且，平面平面，，，O為的中點(diǎn)．

（1）求證：

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接，，通過證明、，證得平面，從而證得.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算二面角的余弦值.

（1）如圖，連接，，在矩形中，，O為的中點(diǎn)，所以三角形和三角形為等腰直角三角形，所以．

因?yàn)?/span>，，所以為正三角形，

又O為的中點(diǎn)，所以，

又平面平面，平面平面，

平面，

所以平面C.

又平面，所以，又，

所以平面，

又平面，

所以．

（2）取的中點(diǎn)E，連接OE，則，所以OA，OB，OE兩兩垂直，

如圖，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則0，，0，，0，，，

0，，，，0，．

設(shè)平面OBC的法向量為y，，則，即，

令，得0，是平面OBC的一個(gè)法向量，

同理可求得平面的一個(gè)法向量為1，，

則，，

由圖知二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為．