在平面直角坐標(biāo)系中，的兩個頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是（-1,0）,(1,0),點(diǎn)是的重心，軸上一點(diǎn)滿足，且.
（1）求的頂點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）不過點(diǎn)的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)、,當(dāng)時，求與的關(guān)系，并證明直線過定點(diǎn).
(1)  (2) ,直線過定點(diǎn)

試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
因為為的重心，故點(diǎn)坐標(biāo)為.
由點(diǎn)在軸上且知，點(diǎn)的坐標(biāo)為,                   ……2分          
因為，所以，即.
故的頂點(diǎn)的軌跡的方程是.                  ……4分
(2)設(shè)直線與的兩交點(diǎn)為.
由消去得，
則,
且,.                                     ……8分
因為，所以,
故，
整理得.解得.                           ……10分
①當(dāng)時=，直線過點(diǎn)（-1，0）不合題意舍去。
②當(dāng)時，=，直線過點(diǎn).
綜上所述,直線過定點(diǎn).                                   ……12分
點(diǎn)評：求曲線方程時，不要忘記驗證是否有限制條件；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，一般離不開直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，此時不要忘記驗證判別式大于零.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分）
如圖，橢圓長軸端點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，
且,.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，問：是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，長軸長為2，離心率e＝，過右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若OP、OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過點(diǎn)P（0，－2）的雙曲線C的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(   )
A．B．
C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)，平行于OM的直線在軸上的截距為，交橢圓于A、B兩個不同點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與軸始終圍成一個等腰三角形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知為直角三角形，三邊長分別為，其中斜邊AB=，若點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則的最小值為              

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn),則該雙曲線的離心率為___________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

我們把離心率為黃金比的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”．設(shè) 為“優(yōu)美橢圓”，F(xiàn)、A分別是左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，B是短軸的一個端點(diǎn)，則 (  )
A．60° B．75°C．90°D．120°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

(13分) 如圖，已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，斜率為k的直線l過左焦點(diǎn)F1且與橢圓的交點(diǎn)為A，B與y軸交點(diǎn)為C，又B為線段CF1的中點(diǎn)，若，求橢圓離心率e的取值范圍。

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