從原點出發(fā)的某質(zhì)點M,按向量
a
=(0,1)
移動的概率為
2
3
,按向量
b
=(0,2)
移動的概率為
1
3
,設(shè)M可到達點(0,n)(n=1,2,3,…)的概率為Pn
(1)求P1和P2的值;
(2)求證:Pn+2-Pn+1=-
1
3
(Pn+1-Pn)

(3)求Pn的表達式.
分析:(1)P1為到達點(0,1)的概率,要到達(0,1)只有按向量
a
移動才可能,故P1=
2
3

P2為到達點(0,2)的概率,要到達(0,2)有兩種方法,第一種直接按向量
b
可到達;第二種兩次都按向量
a
走.
P2=
2
3
2
3
+
1
3

(2)找出Pn+2、Pn+1、Pn的關(guān)系即Pn+2=
2
3
Pn+1+
1
3
Pn
,即可得到答案.
(3)構(gòu)造新數(shù)列{Pn+1-Pn}是以P2-P1為首項,-
1
3
為公比的等比數(shù)列,由等比數(shù)列求和可得答案.
解答:解:(1)P1=
2
3
,P2=(
2
3
)
2
+
1
3
=
7
9

(2)證明:M點到達點(0,n+2)有兩種情況
①從點(0,n+1)按向量
a
=(0,1)移動
②從點(0,n)按向量
b
=(0,2)移動
Pn+2=
2
3
Pn+1+
1
3
Pn

Pn+2-Pn+1=-
1
3
 (Pn+1-Pn)

問題得證.
(3)數(shù)列{Pn+1-Pn}是以P2-P1為首項,-
1
3
為公比的等比數(shù)列
Pn+1-Pn=(P2-P1)(-
1
3
)
n-1
=
1
9
(-
1
3
)
n-1
=(-
1
3
)
n+1

∴Pn-Pn-1=(-
1
3
)
n

又因為Pn-P1=(Pn-Pn-1)+(Pn-1-Pn-2)+…+(P2-P1
=(-
1
3
)
n
+(-
1
3
)
n-1
+…+(-
1
3
)
2

=
1
12
[1-(-
1
3
)
n-1
]

∴Pn=Pn-P1+P1
Pn=
1
4
×(-
1
3
)n+
3
4
點評:本題主要考查構(gòu)造等比數(shù)列的方法.等比數(shù)列是高考中必考題,有時題中的數(shù)列不是等比的,要通過自己構(gòu)造新的數(shù)列使之成為等比數(shù)列進而解題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

從原點出發(fā)的某質(zhì)點M,按向量
a
=(0,1)移動的概率為
2
3
,按向量
b
=(0,2)移動的概率為
1
3
,設(shè)可達到點(0,n)的概率為Pn,求:
(1)求P1和P2的值.
(2)求證:Pn+2=
1
3
Pn+
2
3
Pn+1
(3)求Pn的表達式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

從原點出發(fā)的某質(zhì)點M,按向量a=(0,1)移動的概率為,按向量b=(0,2)移動的概率為,則質(zhì)點M到達(0,3)的概率等于____________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

從原點出發(fā)的某質(zhì)點M,按向量a=(0,1)移動的概率為,按向量b=(0,2)移動的概率為,設(shè)M可到達點(0,n)的概率為Pn

  (1)求P1和P2的值;(2)求證:=;(3)求的表達式。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

從原點出發(fā)的某質(zhì)點M,按向量a=(0,1)移動的概率為,按向量b=(0,2)移動的概率為,設(shè)M可到達點(0,n)的概率為Pn

(1)求P1和P2的值;

(2)求證:Pn+2-Pn+1=-(Pn+1-Pn);

(3)求Pn的表達式.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案