【題目】定義域為R的偶函數(shù)f(x)滿足對x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f(1),且當(dāng)x∈[2,3]時,f(x)=﹣2x2+12x﹣18,若函數(shù)y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三個零點,則a的取值范圍是(
A.
B.
C.
D.

【答案】A
【解析】解:因為 f(x+2)=f(x)﹣f(1),且f(x)是定義域為R的偶函數(shù)

令x=﹣1 所以 f(﹣1+2)=f(﹣1)﹣f(1),f(﹣1)=f(1)

即 f(1)=0 則有,f(x+2)=f(x)

f(x)是周期為2的偶函數(shù),

當(dāng)x∈[2,3]時,f(x)=﹣2x2+12x﹣18=﹣2(x﹣3)2

圖象為開口向下,頂點為(3,0)的拋物線

∵函數(shù)y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三個零點,

∵f(x)≤0,

∴g(x)≤0,可得a<1,

要使函數(shù)y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三個零點,

令g(x)=loga(|x|+1),

如圖要求g(2)>f(2),可得

就必須有 loga(2+1)>f(2)=﹣2,

∴可得loga3>﹣2,∴3< ,解得﹣ <a< 又a>0,

∴0<a<

故選A;

根據(jù)定義域為R的偶函數(shù)f(x)滿足對x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f(1),可以令x=﹣1,求出f(1),再求出函數(shù)f(x)的周期為2,當(dāng)x∈[2,3]時,f(x)=﹣2x2+12x﹣18,畫出圖形,根據(jù)函數(shù)y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三個零點,利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解;

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B.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點 對稱
C.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點 對稱
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