Question

【題目】已知a∈R，函數(shù)f（x）=（﹣x2+ax）ex ， （x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）函數(shù)f（x）是否為R上的單調(diào)函數(shù)，若是，求出a的取值范圍；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=2時，f（x）=（﹣x2+2x）ex，

∴f′（x）=﹣（x2﹣2）ex

令f′（x）＞0，得x2﹣2＜0，

∴﹣ ＜x＜

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣ ， ）

（2）解：∵f′（x）=[﹣x2+（a﹣2）x+a]ex，

記g（x）=﹣x2+（a﹣2）x+a，

∴△=（a﹣2）2+4a=a2+4＞0，

∴x∈R時，g（x）的值有正有負(fù)，

而x∈R時，ex＞0恒成立，

于是x∈R時，f′（x）的值有正有負(fù)，

故函數(shù)f（x）的不是R上的單調(diào)函數(shù)

【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，（2），求導(dǎo)函數(shù)，判斷出f′（x）的值有正有負(fù)，故函數(shù)f（x）的不是R上的單調(diào)函數(shù)．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．