Question

【題目】已知橢圓C： =1，（a＞b＞0）的離心率為 ，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+ =0）且不垂直于x軸直線l橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求 取值范圍；
（Ⅲ）若B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是E，證明：直線AE與x軸相交于定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知 ，∴ ，即 ， 又 ，∴a2=4，b2=3，
故橢圓的方程為 ；
（Ⅱ）解：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣4），
由 得：（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．
由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0得： ．
設(shè)A（x1 ， y1），B （x2 ， y2），則 ， ①
∴y1y2=k（x1﹣4）k（x2﹣4）= ，
∴ ，
∵ ，∴ ，則 ．
∴ 的取值范圍是 ；
（Ⅲ）證明：∵B、E兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，∴E（x2 ， ﹣y2），
直線AE的方程 ，令y=0，得 ，
又y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），
∴ ，
將①代入上式并整理得：x=1，
∴直線AE與x軸交于定點(diǎn)（1，0）
【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率得到a，b的關(guān)系式 ，由原點(diǎn)到直線x﹣y+ =0的距離求得b，則a可求，橢圓方程可求；（Ⅱ）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣4），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由△＞0得k的范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，代入 ，結(jié)合k的范圍可得 取值范圍；（Ⅲ）由B、E兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，得到E（x2 ， ﹣y2），寫出直線AE的方程，求出直線在x軸上的截距x=1，則可說明直線AE與x軸交于定點(diǎn)（1，0）．