【題目】已知二次函數(shù),關(guān)于的不等式的解集為,,設(shè).
()求的值.
()如何取值時(shí),函數(shù)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn).
()若,且,求證:.
【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析
【解析】試題分析:(1)根據(jù)二次不等式解集與二次方程根的關(guān)系可得,解得的值.(2)先求導(dǎo)數(shù),再研究導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn):沒(méi)有零點(diǎn)就沒(méi)有極值點(diǎn),有零點(diǎn)但不在定義區(qū)間,也不是零點(diǎn);零點(diǎn)在定義區(qū)間且附近導(dǎo)函數(shù)變號(hào)才是零點(diǎn);(3)先根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式化簡(jiǎn)不等式左邊式子,并根據(jù)基本不等式放縮,再根據(jù)倒序相加法求中間的和,利用基本不等式放縮即得結(jié)論.
試題解析:()因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為,
即不等式的解集為,
所以,
所以,
所以,所以.
()由()得,
所以的定義域?yàn)?/span>,
所以,
方程(*)的判別式
.
①當(dāng)時(shí),,方程(*)的兩個(gè)實(shí)根為,,
則時(shí),;時(shí),,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)有極小值點(diǎn).
②當(dāng)時(shí),由,得或,若,
則,,故時(shí),,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn),
若時(shí),,,
則時(shí),;時(shí),;時(shí),,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)有極小值點(diǎn),有極大值點(diǎn),
綜上所述,當(dāng)時(shí),取任意實(shí)數(shù),函數(shù)有極小值點(diǎn),
當(dāng)時(shí),,函數(shù)有極小值點(diǎn),有極大值點(diǎn),
(其中,).
()因?yàn)?/span>,所以,
所以,
令,
則,
因?yàn)?/span>,所以
,
所以,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)函數(shù)的圖象能否與軸相切?若能,求出實(shí)數(shù)a,若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅱ)求最大的整數(shù),使得對(duì)任意,不等式
恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)不在軸上,直線(xiàn)、的斜率之積.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(Ⅱ)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的兩直線(xiàn)與動(dòng)點(diǎn)的軌跡分別相交于、兩點(diǎn)。是否存在常數(shù),使得任意滿(mǎn)足的直線(xiàn)恒過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中,且為常數(shù)).
(1)若對(duì)于任意的,都有成立,求的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,若方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)滿(mǎn)足;直線(xiàn)和直線(xiàn)的斜率之積為.
(1)求曲線(xiàn)的方程;
(2)過(guò)且斜率為正數(shù)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn),其中點(diǎn)在軸上方,與曲線(xiàn)交于點(diǎn),若的面積為的面積為,當(dāng)時(shí),求直線(xiàn)的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出定義域;
(2)證明:;
(3)若,這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知角始邊與軸的非負(fù)半軸重合,與圓相交于點(diǎn),終邊與圓相交于點(diǎn),點(diǎn)在軸上的射影為, 的面積為,函數(shù)的圖象大致是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)直線(xiàn)l的方程為(a+1)x+y-2-a=0(a∈R).
(1)若直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則直線(xiàn)l的方程為__________________________;
(2)若a>-1,直線(xiàn)l與x、y軸分別交于M、N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OMN的面積取最小值時(shí),直線(xiàn)l對(duì)應(yīng)的方程為________________.
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