Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為 ．
（1）求C的普通方程和l的傾斜角；
（2）設(shè)點(diǎn)P（0，2），l和C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|+|PB|．

Answer 1

【答案】
（1）解法一：由 消去參數(shù)α，得 ，

即C的普通方程為 ．

由 ，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）

將 代入（*），化簡(jiǎn)得y=x+2，

所以直線l的傾斜角為 ．

解法二：同解法一．

（2）解法一：由（1）知，點(diǎn)P（0，2）在直線l上，可設(shè)直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），

即 （t為參數(shù)），

代入 并化簡(jiǎn)，得 ．

．

設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，

則 ，所以t1＜0，t2＜0，）

所以 ．

解法二：直線l的普通方程為y=x+2．

由 消去y得10x2+36x+27=0，

于是△=362﹣4×10×27=216＞0．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則 ， ，所以x1＜0，x2＜0，

故

【解析】解法一：（1）由參數(shù)方程消去參數(shù)α，得橢圓的普通方程，由極坐標(biāo)方程，通過兩角和與差的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解出普通方程即可求出直線l的傾斜角．（2）設(shè)出直線l的參數(shù)方程，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1 ， t2 ， 利用參數(shù)的幾何意義求解即可．解法二：（1）同解法一．（2）利用直線l的普通方程與橢圓的方程聯(lián)立，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求解即可．