【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是的中點，，，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）在中，得，再由平面底面，證的底面，即可證明.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，建立空間直角坐標系，得到為平面的一個法向量，且，再求得平面的法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值．

試題解析：

（Ⅰ）在中，，為的中點，所以.

因為平面底面，且平面底面，

所以底面.

又平面，

所以.

（Ⅱ）在直角梯形中，，，為的中點，

所以，

所以四邊形為平行四邊形.

因為，所以，由（Ⅰ）可知平面，

以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，，，.

因為，，所以平面，

即為平面的一個法向量，且.

因為是棱的中點，所以點的坐標為，

又，設平面的法向量為.

則，即，

令，得，，所以.

從而 .

由題知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，在直角梯形中，，且分別為線段的中點，沿把折起，使，得到如下的立體圖形.

（1）證明：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

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【題目】長方體中，

（1）求直線與所成角；

（2）求直線與平面所成角的正弦.

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【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，求實數(shù)的值；

（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（3）當時，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知，若，，使成立，則實數(shù)的取值范圍是_____.

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【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當時，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】在平面直角坐標系中，拋物線的頂點在原點，且該拋物線經(jīng)過點，其焦點在軸上.

（Ⅰ）求過點且與直線垂直的直線的方程；

（Ⅱ）設過點的直線交拋物線于，兩點，，求的最小值.

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【題目】在直角坐標系中，已知橢圓的上下兩個焦點分別為，且，橢圓過點．

(1)求橢圓的標準方程；

(2)設橢圓的一個頂點為，直線交橢圓于另一個點，求的面積．

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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點 在橢圓：上，且橢圓的離心率為.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)記橢圓的左、右頂點分別為、,點是軸上任意一點(異于點)，過點的直線與橢圓相交于兩點.

①若點的坐標為，直線的斜率為，求的面積;

②若點的坐標為，連結(jié)交于點，記直線的斜率分別為，證明：是定值.

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