Question

【題目】在如圖所示的四棱錐S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠DAB=∠ABC=90°，SA=AB=BC=a，AD=3a（a＞0），E為線段BS上的一個動點．

（1）證明：DE和SC不可能垂直；
（2）當點E為線段BS的三等分點（靠近B）時，求二面角S﹣CD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵SA⊥底面ABCD，∠DAB=90°，

∴AB、AD、AS兩兩垂直．故以A為原點，建立空間直角坐標系，如圖

則S（0，0，a），C（a，a，0），D（0，3a，0）（a＞0），

∵SA=AB=a且SA⊥AB，

∴設(shè)E（x，0，a﹣x）其中0≤x≤a，

∴ ， ，

假設(shè)DE和SC垂直，則 ，

即ax﹣3a2﹣a2+ax=2ax﹣4a2=0，解得x=2a，

這與0≤x≤a矛盾，假設(shè)不成立，所以DE和SC不可能垂直

（2）解：∵E為線段BS的三等分點（靠近B），∴ ．

設(shè)平面SCD的一個法向量是 ，

∵ ， ，

∴ ，即 ，即 ，

取 ，

設(shè)平面CDE的一個法向量是 ，

∵ ， ，

∴ ，即 ，即 ，

取 ，

設(shè)二面角S﹣CD﹣E的平面角大小為θ，由圖可知θ為銳角，

∴ ，

即二面角S﹣CD﹣E的余弦值為

【解析】由題可知，可以直接建立空間直角坐標線證明位置關(guān)系和計算角．（1）只要向量 恒成立，即可說明DE和SC不可能垂直；也可用反證法：假設(shè)DE與SC垂直，即 ，找出矛盾．（2）求出平面SCD和平面CDE的法向量，用向量角的余弦值來反應(yīng)二面角的大小．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．